24.3. 奇异矩阵¶
奇异矩阵是一个或多个行或列可以计算为 linear combination 其他行或列。如果计算奇异数据矩阵的方差协方差矩阵，则该方差协方差矩阵的行列式将为0。
例如，考虑下面的“数据”矩阵，其中有4个变量和5个观测值。
3 |
9 |
11 |
2 |
5 |
5 |
3 |
4 |
3 |
1 |
2 |
7 |
5 |
5 |
11 |
17 |
42 |
41 |
22 |
44 |
如果我们称之为矩阵x，我们可以例如生成第四行作为其他行的线性组合，如下所示：
y＝a t * X’
其中x'是没有第4行的数据矩阵
3 |
9 |
11 |
2 |
5 |
5 |
3 |
4 |
3 |
1 |
2 |
7 |
5 |
5 |
11 |
A是3个系数的向量
2 |
1 |
3 |
用于预乘x'以产生y，即第四行。平均矢量为：
6 |
3.2 |
6 |
33.2 |
然后我们从每个“观测”中减去平均向量，将平均值移到零。
-3 |
3 |
5 |
-4 |
-1 |
1.8 |
-0.2 |
0.8 |
-0.2 |
-2.2 |
-4 |
1 |
-1 |
-1 |
5 |
-16.2 |
8.8 |
7.8 |
-11.2 |
10.8 |
表：平均向量为零的矩阵
在将方差协方差矩阵计算为 vcv = xm*xm t
方差协方差为：
60 |
1 |
9 |
148 |
1 |
8.8 |
-19 |
-46.2 |
9 |
-19 |
44 |
131 |
148 |
-46.2 |
131 |
642.8 |
行列式是：3.699 * 10 -11 舍入误差在0以内
如果我们删除第4个变量并重新计算3个变量数据集的确定值，我们得到：473.2明显大于0！作为练习，您可以尝试手工计算这个值，或者使用矩阵代数包。 Mathcad 5 plus 用于计算此示例。
主要作者：Nicholas M.Short，高级电子邮件： nmshort@epix.net