单位制背后的理念#

尺寸#

介绍#

单位系统的根是维系统，其结构主要决定着单位系统的结构。我们的定义可能看起来很粗糙，但对于我们的目的来说，它们基本上已经足够了。

一个维度将被定义为一个可测量的属性，并分配给一个特定的现象。从这个意义上说，维度不同于纯数字，因为它们带有一些额外的意义，因此两个不同的维度不能相加。例如，时间或长度是维度，但也有其他对我们有意义的东西，比如角度，粒子数（摩尔…）或信息（比特…）。

从这个观点来看，唯一真正无量纲的量是纯数。无量纲的概念非常依赖于系统，这可以从 \((c, \hbar, G)\) ，其中所有单位在通常意义上都是无量纲的。对于一般单位系统的可计算性来说，这是不可避免的（但最后我们可以告诉程序什么是无量纲的）。

尺寸可以通过取它们的乘积或比值（定义见下文）组合在一起。例如，速度被定义为长度除以时间，或者我们可以把长度看作速度乘以时间，这取决于我们所看到的更基本的东西：一般来说，我们可以选择一组基本维度来描述所有其他维度。

集团结构#

在这个简短的介绍之后，我们描述了数学结构，其目的是从直观的角度介绍维度。尺寸系统 \(n\) 独立维度 \(\{{d_i\}}_{{i=1,\ldots,n}}\) 由乘法群描述 \(G\) ：

  • 有身份元素吗 \(1\) 对应于纯数；

  • 产品 \(D_3 = D_1 D_2\) 两个元素 \(D_1, D_2 \in G\) 也在 \(G\) ；

  • 任何元素 \(D \in G\) 反方向有一个 \(D^{{-1}} \in G\) .

我们表示

\[D^n=\underrace{D\times\cdots\times D}}{\text{$n$times}}，\]

根据定义 \(D^0 = 1\) . 这个 \(\{{d_i\}}_{{i=1,\ldots,n}}\) 因为任何元素都被称为群的生成器 \(D \in G\) 可以表示为发电机功率的乘积：

\[D=\prod{i=1}^n D\u i^{a_i}，\qquad\]

身份是为了 \(a_i = 0, \forall i\) ，同时恢复发电机 \(d_i\) 对于 \(a_i = 1, a_j = 0, \forall j \neq i\) . 此组具有以下属性：

  1. abelian，既然发电机通勤， \([d_i, d_j] = 0\) ；

  2. 可数（无限但离散），因为元素是按生成元的幂指数 [1].

可以更改维度基础 \(\{{d'_i\}}_{{i=1,\ldots,n}}\) 把旧发电机组合起来：

\[d'''u i=\prod{j=1}^n d{j^{P{ij}}。\]

线性空间表示#

可以使用线性空间 \(\mathbf{{Z}}^n\) 作为群的一个表示，因为幂系数 \(a_i\) 携带所有需要的信息（我们不区分组的元素及其表示）：

\[（d_i）_j=\δ{ij}、\qquad\]

变更依据 \(d'_i\) 遵循线性空间基变化的一般规则，矩阵由系数给出 \(P_{{ij}}\) ，即新矢量在旧基础上的系数：

\[d'''u i=P{ij}d\u j。\]

我们将在算法中使用最后一个解。

一个例子#

为了说明所有这些形式，我们以一个具体的例子结束本节，即具有尺寸（L：长度，m：质量，T：时间）的MKS系统（m，kg，s）。它们表示为（我们将始终按字母顺序对向量进行排序）

\[我=\]

可以导出其他维度，例如速度 \(V\) 或行动 \(A\)

\[V=L T^{-1}，四元组\]

我们可以改变基础，进入自然系统 \((m, c, \hbar)\) 尺寸（L：长度，V：速度，A：作用） [2]. 在此基础上，发电机是

\[A=\]

质量和时间由

\[T=L V^{-1}，四元组\]

最后是基矩阵的逆变换 \(P^{{-1}}\) 通过胶合以旧基表示的向量得到：

\[P^{-1}=\]

为了求基矩阵的变化，我们只需取逆矩阵

\[P=\]

量#

一个量由它的名称、维数和因子定义为同一个维数的标准量。规范量是units模块的内部引用，不应与最终用户相关。单位和物理常数都是量。

单位#

单位，如米、秒和公斤，通常是人类用来指代其他量的参考量。

在定义了几个不同维度的单位之后，我们可以形成一个单位系统，这基本上是一个带有尺度概念的维度系统。

常量#

物理常数只是数量。它们表明我们过去不理解两个维度实际上是相同的。例如，我们看到光的速度与1不同，因为我们不认为时间和空间是一样的（这是正常的，因为我们的感觉；但它在基本层次是不同的）。例如，曾经有一个“热常数”，允许在焦耳和卡路里之间转换，因为人们不知道热是能量。一旦他们明白了，他们就把这个常数定为1（这是一个非常图解的故事）。

我们可以解释这样一个事实：现在我们把国际单位制中的基本常数定为单位（我们用它们来定义其他常用单位）。

需要参考资料#

从零开始定义单元和单元系统是不可能的：需要定义一些引用，然后在它们之上构建其他引用。换言之，我们需要一个单位刻度的原点（即因子为1的单位），为了确保给定维度的所有单位定义一致，我们需要对所有单位使用相同的原点。如果我们想将派生单位用作另一个系统中的基本单位，就可能发生这种情况：我们不应将其定义为具有刻度1，因为即使它在系统内部不一致，我们也无法转换为第一个系统，因为我们有两个不同的单位（从我们的角度来看）具有相同的比例（这意味着它们对于计算机来说是相等的）。

我们会说系统外定义的维数和尺度是规范的，因为我们在所有计算中都使用它们。另一方面，参照一个系统得到的尺寸和尺度被称为物理的，因为它们最终带有一种意义。

让我们用一个具体的（也是重要的）例子：质量单位的情况。我们想把克定义为起源。我们想把克定义为质量的标准原点，所以我们给它指定一个标度1。然后我们可以定义一个以它为基本单位的系统（例如在化学中）。MKS系统更倾向于使用千克；一个天真的选择是将其定为1的刻度，因为它是一个基数，但是我们看到我们不能转换成化学系统，因为g和kg都被赋予了相同的因子。所以我们需要把kg定义为1000g，然后用它作为MKS的基。但当我们问到“千克在MKS中的系数是多少？”，我们得到答案1，因为它是一个基本单位。

因此，我们将定义所有的计算而不参考系统，并且只有在最后，我们才能将结果插入到一个系统中，以给出我们感兴趣的上下文。

文学类#

[Page52]

C. H. Page, Classes of units in the SI, Am. J. of Phys. 20, 1 (1952): 1.

[Page78]

C. H. Page, Units and Dimensions in Physics, Am. J. of Phys. 46, 1 (1978): 78.

[deBoer79]

J. de Boer, Group properties of quantities and units, Am. J. of Phys. 47, 9 (1979): 818.

[LevyLeblond77]

J.-M. Lévy-Leblond, On the Conceptual Nature of the Physical Constants, La Rivista Del Nuovo Cimento 7, no. 2 (1977): 187-214.

脚注