关于完整函数#

本文旨在解释完整函数。我们假设你有微分方程和抽象代数的基本概念。

定义#

完整函数是一类非常普遍的特殊函数类型，它包含许多已知的简单函数作为其特例。事实上，更为人所知的超几何函数和Meijer G-函数也是它的一个特例。

如果一个函数是只具有多项式系数的常微分方程的解，则称为完整函数。由于微分方程的一般解由一系列函数组成，而不是由一个函数组成，完整函数通常由一组初始条件与微分方程一起定义。

让 \(K\) 是一个有特点的领域 0 . 例如， \(K\) 可以是 QQ 或 RR . 函数 \(f(x)\) 如果存在多项式，将是完整的 \(p_0, p_1, p_2, ... p_r \in K[x]\) 这样的话

\[p_\cdot f（x）+p_1\cdot f^{（1）}（x）+p_2\cdot f^{（2）}（x）+。。。+p\u r\cdot f^{（r）}（x）=0\]

这个微分方程也可以写成 \(L \cdot f(x) = 0\) 在哪里？

\[L=p_0+p_1\cdot D+p_2\cdot D^2+。。。p\U r\cdot日期^r\]

在这里 \(D\) 是微分算子和 \(L\) 称为函数的零化子。

从零化子和一组初始条件可以定义一个唯一的完整函数。例如：

\[f（x）=\exp（x）：L=D-1，\：f（0）=1\]

其他基本功能，如 \(\cos(x)\) ， \(\log(x)\) 贝塞尔函数也是完整函数。

完整函数族在加法、乘法、积分、组合下是封闭的。这意味着如果给定两个函数是完整的，那么应用这些运算得到的函数也将是完整的。