用奇异函数求解梁弯曲问题#
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>>> from sympy import *
>>> x, y, z = symbols('x y z')
>>> init_printing(use_unicode=True, wrap_line=False)
梁#
平面梁是一种能够通过抵抗内部剪切和弯曲来承受荷载的结构单元。梁的特征在于其长度、约束条件、横截面面积二阶矩和弹性模量。在SymPy中，通过指定以下特性来构造二维梁对象：
长度
弹性模量
面积二阶矩
变量：表示沿梁长度的位置的符号。默认情况下，此设置为
Symbol(x).- 边界条件
bc_slope：斜坡的边界条件。
bc_挠度：挠度的边界条件。
负荷分配
一旦指定了上述内容，将使用以下方法计算有关受载梁的有用信息：
solve_for_reaction_loads()shear_force()bending_moment()slope()
实例#
下面是各种二维梁弯曲问题的例子。
例1#
长度为9米的悬臂梁在5米距离内从固定端向下施加8 kN/m的分布恒定荷载。在距固定端5米处施加50 kN-m的逆时针力矩。最后，在梁的自由端施加12 kN的向下点荷载。
y
^
|
\\\\|
\\\\| 8 kN/m
\\\\|_________________
\\\\|| | | | | | | | | 12 kN
\\\\|V V V V V V V V V |
\\\\|________________|_______________V
\\\\| | |
\\\\o - - - - - - - -⭯ 50 kN-m - - - | - - -> x
\\\\|________________|_______________|
\\\\| :
\\\\|----------------|---------------|
5.0 m 4.0 m
备注
The user is free to choose their own sign convention. In this case the downward forces and counterclockwise bending moment being positive.
梁必须用长度、弹性模量和面积二阶矩初始化。这些量可以是符号或数字。
>>> from sympy.physics.continuum_mechanics.beam import Beam
>>> E, I = symbols('E, I')
>>> b = Beam(9, E, I)
The three loads are applied to the beam using the apply_load() method. This
method supports point forces, point moments, and polynomial distributed loads
of any order, i.e. \(c, cx, cx^2, cx^3, \ldots\).
在负方向上，多项式的顺序为1米处的负荷载：
>>> b.apply_load(12, 9, -1)
这个 load 属性可用于访问奇点函数形式的加载函数：
>>> b.load
-1
12⋅<x - 9>
同样，正力矩可采用多项式阶数-2：
>>> b.apply_load(50, 5, -2)
分布荷载为0级，跨度为x=0至x=5：
>>> b.apply_load(8, 0, 0, end=5)
固定端施加两个边界条件：1）无垂直偏转；2）无旋转。通过附加x值的元组和相应的挠度或坡度值来指定这些值：
>>> b.bc_deflection.append((0, 0))
>>> b.bc_slope.append((0, 0))
这些边界条件引入了一个未知的反作用力和力矩，需要施加到梁上以保持静态平衡：
>>> R, M = symbols('R, M')
>>> b.apply_load(R, 0, -1)
>>> b.apply_load(M, 0, -2)
>>> b.load
-2 -1 0 -2 0 -1
M⋅<x> + R⋅<x> + 8⋅<x> + 50⋅<x - 5> - 8⋅<x - 5> + 12⋅<x - 9>
这两个变量可以根据施加的荷载进行求解，并可以显示最终荷载：
>>> b.solve_for_reaction_loads(R, M)
>>> b.reaction_loads
{M: 158, R: -52}
>>> b.load
-2 -1 0 -2 0 -1
158⋅<x> - 52⋅<x> + 8⋅<x> + 50⋅<x - 5> - 8⋅<x - 5> + 12⋅<x - 9>
此时，完全定义梁，并计算内部剪力和弯矩：
>>> b.shear_force()
-1 0 1 -1 1 0
- 158⋅<x> + 52⋅<x> - 8⋅<x> - 50⋅<x - 5> + 8⋅<x - 5> - 12⋅<x - 9>
>>> b.bending_moment()
0 1 2 0 2 1
- 158⋅<x> + 52⋅<x> - 4⋅<x> - 50⋅<x - 5> + 4⋅<x - 5> - 12⋅<x - 9>
这些可以通过调用相应的plot方法来可视化：
>>> b.plot_shear_force()
>>> b.plot_bending_moment()
梁在荷载作用下会变形，坡度和挠度可通过以下公式确定：
>>> b.slope()
⎛ 3 3 ⎞
⎜ 1 2 4⋅<x> 1 4⋅<x - 5> 2⎟
-⎜- 158⋅<x> + 26⋅<x> - ────── - 50⋅<x - 5> + ────────── - 6⋅<x - 9> ⎟
⎝ 3 3 ⎠
─────────────────────────────────────────────────────────────────────────
E⋅I
>>> b.deflection()
⎛ 3 4 4 ⎞
⎜ 2 26⋅<x> <x> 2 <x - 5> 3⎟
-⎜- 79⋅<x> + ─────── - ──── - 25⋅<x - 5> + ──────── - 2⋅<x - 9> ⎟
⎝ 3 3 3 ⎠
────────────────────────────────────────────────────────────────────
E⋅I
只要提供模量和二阶矩的数字，就可以绘制梁的坡度和挠度：
>>> b.plot_slope(subs={E: 20E9, I: 3.25E-6})
>>> b.plot_deflection(subs={E: 20E9, I: 3.25E-6})
所有曲线图都可以在一个图中显示：
>>> b.plot_loading_results(subs={E: 20E9, I: 3.25E-6})
例2#
There is a beam of length 30 meters. A moment of magnitude 120 Nm is applied in the counter-clockwise direction at the end of the beam. A point load of magnitude 8 N is applied from the top of the beam at the starting point. There are two simple supports below the beam. One at the end and another one at a distance of 10 meters from the start. The deflection is restricted at both the supports.
|| 8 N ⭯ 120 Nm
\/______________________________________________|
|_______________________________________________|
/\ /\
|------------|---------------------------------|
10 m 20 m
备注
Using the sign convention of downward forces and counterclockwise moment being positive.
>>> from sympy.physics.continuum_mechanics.beam import Beam
>>> from sympy import symbols
>>> E, I = symbols('E, I')
>>> R1, R2 = symbols('R1, R2')
>>> b = Beam(30, E, I)
>>> b.apply_load(8, 0, -1)
>>> b.apply_load(R1, 10, -1)
>>> b.apply_load(R2, 30, -1)
>>> b.apply_load(120, 30, -2)
>>> b.bc_deflection.append((10, 0))
>>> b.bc_deflection.append((30, 0))
>>> b.solve_for_reaction_loads(R1, R2)
>>> b.reaction_loads
{R₁: -18, R₂: 10}
>>> b.load
-1 -1 -2 -1
8⋅<x> - 18⋅<x - 10> + 120⋅<x - 30> + 10⋅<x - 30>
>>> b.shear_force()
0 0 -1 0
- 8⋅<x> + 18⋅<x - 10> - 120⋅<x - 30> - 10⋅<x - 30>
>>> b.bending_moment()
1 1 0 1
- 8⋅<x> + 18⋅<x - 10> - 120⋅<x - 30> - 10⋅<x - 30>
>>> b.slope()
2 2 1 2 1600
4⋅<x> - 9⋅<x - 10> + 120⋅<x - 30> + 5⋅<x - 30> - ────
3
─────────────────────────────────────────────────────────
E⋅I
>>> b.deflection()
3 3
1600⋅x 4⋅<x> 3 2 5⋅<x - 30>
- ────── + ────── - 3⋅<x - 10> + 60⋅<x - 30> + ─────────── + 4000
3 3 3
───────────────────────────────────────────────────────────────────
E⋅I
例3#
一根6米长的梁在开始处有一个滚柱支撑，在末端有一个铰链支撑。在梁的中间施加1.5 kN-m的逆时针力矩。从梁的中间到末端施加3 kN/m的恒定分布荷载和1 kN/m/m的斜坡荷载。
ramp load = 1 KN/m/m
constant load = 3 KN/m
|------------------------|
⭯ 1.5 KN-m
______________________|________________________
|_______________________________________________|
o | /\
|----------------------|-----------------------|
3.0 m 3.0 m
备注
Using the sign convention of downward forces and counterclockwise moment being positive.
>>> from sympy.physics.continuum_mechanics.beam import Beam
>>> from sympy import symbols, plot, S
>>> E, I = symbols('E, I')
>>> R1, R2 = symbols('R1, R2')
>>> b = Beam(6, E, I)
>>> b.apply_load(R1, 0, -1)
>>> b.apply_load(-S(3)/2, 3, -2)
>>> b.apply_load(3, 3, 0)
>>> b.apply_load(1, 3, 1)
>>> b.apply_load(R2, 6, -1)
>>> b.bc_deflection.append((0, 0))
>>> b.bc_deflection.append((6, 0))
>>> b.solve_for_reaction_loads(R1, R2)
>>> b.reaction_loads
{R₁: -11/4, R₂: -43/4}
>>> b.load
-1 -2 -1
11⋅<x> 3⋅<x - 3> 0 1 43⋅<x - 6>
- ──────── - ─────────── + 3⋅<x - 3> + <x - 3> - ────────────
4 2 4
>>> plot(b.load)
>>> b.shear_force()
0 -1 2 0
11⋅<x> 3⋅<x - 3> 1 <x - 3> 43⋅<x - 6>
─────── + ─────────── - 3⋅<x - 3> - ──────── + ───────────
4 2 2 4
>>> b.bending_moment()
1 0 2 3 1
11⋅<x> 3⋅<x - 3> 3⋅<x - 3> <x - 3> 43⋅<x - 6>
─────── + ────────── - ────────── - ──────── + ───────────
4 2 2 6 4
>>> b.slope()
2 1 3 4 2
11⋅<x> 3⋅<x - 3> <x - 3> <x - 3> 43⋅<x - 6> 78
- ─────── - ────────── + ──────── + ──────── - ─────────── + ──
8 2 2 24 8 5
───────────────────────────────────────────────────────────────
E⋅I
>>> b.deflection()
3 2 4 5 3
78⋅x 11⋅<x> 3⋅<x - 3> <x - 3> <x - 3> 43⋅<x - 6>
──── - ─────── - ────────── + ──────── + ──────── - ───────────
5 24 4 8 120 24
───────────────────────────────────────────────────────────────
E⋅I
例4#
长度为8米的悬挑梁固定在距起点1米处，并在另一端前1米用滚轴支撑。从起点到距起点2米处，承受10 KN/m的分布恒载。在距起点5米和7.5米处分别施加20KN和8KN的两点荷载。
---> x
|
v y
10 KN/m
_____________ 20 KN 8 KN
| | | | | | | | |
V V V V V V V V V
_______________________________________________
|_______________________________________________|
/\ O
|-----|------|-----------------|----------|--|--|
1m 1m 3m 2m .5m .5m
>>> from sympy.physics.continuum_mechanics.beam import Beam
>>> from sympy import symbols
>>> E,I,M,V = symbols('E I M V')
>>> b = Beam(8, E, I)
>>> E,I,R1,R2 = symbols('E I R1 R2')
>>> b.apply_load(R1, 1, -1)
>>> b.apply_load(R2, 7, -1)
>>> b.apply_load(10, 0, 0, end=2)
>>> b.apply_load(20, 5, -1)
>>> b.apply_load(8, 7.5, -1)
>>> b.solve_for_reaction_loads(R1, R2)
>>> b.reaction_loads
{R₁: -26, R₂: -22}
>>> b.load
0 -1 0 -1 -1 -1
10⋅<x> - 26⋅<x - 1> - 10⋅<x - 2> + 20⋅<x - 5> - 22⋅<x - 7> + 8⋅<x - 7.5>
>>> b.shear_force()
1 0 1 0 0 0
- 10⋅<x> + 26⋅<x - 1> + 10⋅<x - 2> - 20⋅<x - 5> + 22⋅<x - 7> - 8⋅<x - 7.5>
>>> b.bending_moment()
2 1 2 1 1 1
- 5⋅<x> + 26⋅<x - 1> + 5⋅<x - 2> - 20⋅<x - 5> + 22⋅<x - 7> - 8⋅<x - 7.5>
>>> b.bc_deflection = [(1, 0), (7, 0)]
>>> b.slope()
3 3
5⋅<x> 2 5⋅<x - 2> 2 2 2 679
────── - 13⋅<x - 1> - ────────── + 10⋅<x - 5> - 11⋅<x - 7> + 4⋅<x - 7.5> + ───
3 3 24
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
E⋅I
>>> b.deflection()
4 3 4 3 3 3
679⋅x 5⋅<x> 13⋅<x - 1> 5⋅<x - 2> 10⋅<x - 5> 11⋅<x - 7> 4⋅<x - 7.5> 689
───── + ────── - ─────────── - ────────── + ─────────── - ─────────── + ──────────── - ───
24 12 3 12 3 3 3 24
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
E⋅I
例5#
长度为6米的悬臂梁承受从起点到距其2米处4.0 KN/m的向下分布恒载。从梁的中间到末端施加1 kN/m/m的斜坡荷载。在距起点4米的同一方向上也施加12KN的点荷载。
---> x .
| . |
v y 12 KN . | |
| . | | |
V . | | | |
\\\\| 4 KN/m . | | | | |
\\\\|___________ . 1 KN/m/m| |
\\\\|| | | | | | . V V V V V V V
\\\\|V V V V V V |---------------|
\\\\|________________________________
\\\\|________________________________|
\\\\| : : :
\\\\|----------|-----|----|----------|
2.0 m 1m 1m 2.0 m
>>> from sympy.physics.continuum_mechanics.beam import Beam
>>> from sympy import symbols
>>> E,I,M,V = symbols('E I M V')
>>> b = Beam(6, E, I)
>>> b.apply_load(V, 0, -1)
>>> b.apply_load(M, 0, -2)
>>> b.apply_load(4, 0, 0, end=2)
>>> b.apply_load(12, 4, -1)
>>> b.apply_load(1, 3, 1, end=6)
>>> b.solve_for_reaction_loads(V, M)
>>> b.reaction_loads
{M: 157/2, V: -49/2}
>>> b.load
-2 -1
157⋅<x> 49⋅<x> 0 0 1 -1 0 1
───────── - ──────── + 4⋅<x> - 4⋅<x - 2> + <x - 3> + 12⋅<x - 4> - 3⋅<x - 6> - <x - 6>
2 2
>>> b.shear_force()
-1 0 2 2
157⋅<x> 49⋅<x> 1 1 <x - 3> 0 1 <x - 6>
- ───────── + ─────── - 4⋅<x> + 4⋅<x - 2> - ──────── - 12⋅<x - 4> + 3⋅<x - 6> + ────────
2 2 2 2
>>> b.bending_moment()
0 1 3 2 3
157⋅<x> 49⋅<x> 2 2 <x - 3> 1 3⋅<x - 6> <x - 6>
- ──────── + ─────── - 2⋅<x> + 2⋅<x - 2> - ──────── - 12⋅<x - 4> + ────────── + ────────
2 2 6 2 6
>>> b.bc_deflection = [(0, 0)]
>>> b.bc_slope = [(0, 0)]
>>> b.slope()
⎛ 1 2 3 3 4 3 4⎞
⎜ 157⋅<x> 49⋅<x> 2⋅<x> 2⋅<x - 2> <x - 3> 2 <x - 6> <x - 6> ⎟
-⎜- ──────── + ─────── - ────── + ────────── - ──────── - 6⋅<x - 4> + ──────── + ────────⎟
⎝ 2 4 3 3 24 2 24 ⎠
────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
E⋅I
>>> b.deflection()
⎛ 2 3 4 4 5 4 5⎞
⎜ 157⋅<x> 49⋅<x> <x> <x - 2> <x - 3> 3 <x - 6> <x - 6> ⎟
-⎜- ──────── + ─────── - ──── + ──────── - ──────── - 2⋅<x - 4> + ──────── + ────────⎟
⎝ 4 12 6 6 120 8 120 ⎠
────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
E⋅I
例6#
长度为11米的悬挑梁在距起点2米至6米处承受2 KN/m的分布恒载。它被固定在起点上，并停留在离终点8米远的滚轴上。另外，在悬挑端施加5 KN-m的逆时针力矩。
2 KN/m ---> x
_________________ |
| | | | | | | | | v y
V V V V V V V V V ⭯ 5 KN-m
____________________________________________________|
O____________________________________________________|
/ \ /\
|--------|----------------|----------|---------------|
2m 4m 2m 3m
>>> from sympy.physics.continuum_mechanics.beam import Beam
>>> from sympy import symbols
>>> R1, R2 = symbols('R1, R2')
>>> E, I = symbols('E, I')
>>> b = Beam(11, E, I)
>>> b.apply_load(R1, 0, -1)
>>> b.apply_load(2, 2, 0, end=6)
>>> b.apply_load(R2, 8, -1)
>>> b.apply_load(5, 11, -2)
>>> b.solve_for_reaction_loads(R1, R2)
>>> b.reaction_loads
{R₁: -37/8, R₂: -27/8}
>>> b.load
-1 -1
37⋅<x> 0 0 27⋅<x - 8> -2
- ──────── + 2⋅<x - 2> - 2⋅<x - 6> - ──────────── + 5⋅<x - 11>
8 8
>>> b.shear_force()
0 0
37⋅<x> 1 1 27⋅<x - 8> -1
─────── - 2⋅<x - 2> + 2⋅<x - 6> + ─────────── - 5⋅<x - 11>
8 8
>>> b.bending_moment()
1 1
37⋅<x> 2 2 27⋅<x - 8> 0
─────── - <x - 2> + <x - 6> + ─────────── - 5⋅<x - 11>
8 8
>>> b.bc_deflection = [(0, 0), (8, 0)]
>>> b.slope()
2 3 3 2
37⋅<x> <x - 2> <x - 6> 27⋅<x - 8> 1
- ─────── + ──────── - ──────── - ─────────── + 5⋅<x - 11> + 36
16 3 3 16
────────────────────────────────────────────────────────────────
E⋅I
>>> b.deflection()
3 4 4 3 2
37⋅<x> <x - 2> <x - 6> 9⋅<x - 8> 5⋅<x - 11>
36⋅x - ─────── + ──────── - ──────── - ────────── + ───────────
48 12 12 16 2
───────────────────────────────────────────────────────────────
E⋅I
例7#
有一根长横梁 l ，两端固定。集中的点荷载 F 在梁的中点向下应用。
^ y
|
---> x
\\\\| F |\\\\
\\\\| | |\\\\
\\\\| V |\\\\
\\\\|_____________________________________|\\\\
\\\\|_____________________________________|\\\\
\\\\| : |\\\\
\\\\| : |\\\\
\\\\|------------------|------------------|\\\\
l/2 l/2
>>> from sympy.physics.continuum_mechanics.beam import Beam
>>> from sympy import symbols
>>> E, I, F = symbols('E I F')
>>> l = symbols('l', positive=True)
>>> b = Beam(l, E, I)
>>> R1,R2 = symbols('R1 R2')
>>> M1, M2 = symbols('M1, M2')
>>> b.apply_load(R1, 0, -1)
>>> b.apply_load(M1, 0, -2)
>>> b.apply_load(R2, l, -1)
>>> b.apply_load(M2, l, -2)
>>> b.apply_load(-F, l/2, -1)
>>> b.bc_deflection = [(0, 0),(l, 0)]
>>> b.bc_slope = [(0, 0),(l, 0)]
>>> b.solve_for_reaction_loads(R1, R2, M1, M2)
>>> b.reaction_loads
⎧ -F⋅l F⋅l F F⎫
⎨M₁: ─────, M₂: ───, R₁: ─, R₂: ─⎬
⎩ 8 8 2 2⎭
>>> b.load
-2 -2 -1 -1 -1
F⋅l⋅<x> F⋅l⋅<-l + x> F⋅<x> l F⋅<-l + x>
- ───────── + ────────────── + ─────── - F⋅<- ─ + x> + ────────────
8 8 2 2 2
>>> b.shear_force()
-1 -1 0 0 0
F⋅l⋅<x> F⋅l⋅<-l + x> F⋅<x> l F⋅<-l + x>
───────── - ────────────── - ────── + F⋅<- ─ + x> - ───────────
8 8 2 2 2
>>> b.bending_moment()
0 0 1 1 1
F⋅l⋅<x> F⋅l⋅<-l + x> F⋅<x> l F⋅<-l + x>
──────── - ───────────── - ────── + F⋅<- ─ + x> - ───────────
8 8 2 2 2
>>> b.slope()
⎛ 2 ⎞
⎜ l ⎟
⎜ 1 1 2 F⋅<- ─ + x> 2⎟
⎜F⋅l⋅<x> F⋅l⋅<-l + x> F⋅<x> 2 F⋅<-l + x> ⎟
-⎜──────── - ───────────── - ────── + ──────────── - ───────────⎟
⎝ 8 8 4 2 4 ⎠
──────────────────────────────────────────────────────────────────
E⋅I
>>> b.deflection()
⎛ 3 ⎞
⎜ l ⎟
⎜ 2 2 3 F⋅<- ─ + x> 3⎟
⎜F⋅l⋅<x> F⋅l⋅<-l + x> F⋅<x> 2 F⋅<-l + x> ⎟
-⎜──────── - ───────────── - ────── + ──────────── - ───────────⎟
⎝ 16 16 12 6 12 ⎠
──────────────────────────────────────────────────────────────────
E⋅I
例8#
有一根长横梁 4*l 中间有一个铰链连接器。它在开始时有一个固定的支撑，并且在 l 和 4*l 从起点开始。集中点荷载 P 也适用于 3*l 从起点开始。
---> x
\\\\| P |
\\\\| | v y
\\\\| V
\\\\|_____________________ _______________________
\\\\|_____________________O_______________________|
\\\\| /\ : /\
\\\\| oooo : oooo
\\\\|----------|-----------|----------|-----------|
l l l l
>>> from sympy.physics.continuum_mechanics.beam import Beam
>>> from sympy import symbols
>>> E, I = symbols('E I')
>>> l = symbols('l', positive=True)
>>> R1, M1, R2, R3, P = symbols('R1 M1 R2 R3 P')
>>> b1 = Beam(2*l, E, I)
>>> b2 = Beam(2*l, E, I)
>>> b = b1.join(b2, "hinge")
>>> b.apply_load(M1, 0, -2)
>>> b.apply_load(R1, 0, -1)
>>> b.apply_load(R2, l, -1)
>>> b.apply_load(R3, 4*l, -1)
>>> b.apply_load(P, 3*l, -1)
>>> b.bc_slope = [(0, 0)]
>>> b.bc_deflection = [(0, 0), (l, 0), (4*l, 0)]
>>> b.solve_for_reaction_loads(M1, R1, R2, R3)
>>> b.reaction_loads
⎧ -P⋅l 3⋅P -5⋅P -P ⎫
⎨M₁: ─────, R₁: ───, R₂: ─────, R₃: ───⎬
⎩ 4 4 4 2 ⎭
>>> b.load
-2 -1 -1 -1
P⋅l⋅<x> 3⋅P⋅<x> 5⋅P⋅<-l + x> -1 P⋅<-4⋅l + x>
- ───────── + ───────── - ────────────── + P⋅<-3⋅l + x> - ──────────────
4 4 4 2
>>> b.shear_force()
-1 0 0 0
P⋅l⋅<x> 3⋅P⋅<x> 5⋅P⋅<-l + x> 0 P⋅<-4⋅l + x>
───────── - ──────── + ───────────── - P⋅<-3⋅l + x> + ─────────────
4 4 4 2
>>> b.bending_moment()
0 1 1 1
P⋅l⋅<x> 3⋅P⋅<x> 5⋅P⋅<-l + x> 1 P⋅<-4⋅l + x>
──────── - ──────── + ───────────── - P⋅<-3⋅l + x> + ─────────────
4 4 4 2
>>> b.slope()
⎛ 2 2 2 2⎞ ⎛ 1 2 2 2⎞ ⎛ 1 2 2 2⎞
⎜5⋅P⋅l P⋅<-2⋅l + x> P⋅<-3⋅l + x> P⋅<-4⋅l + x> ⎟ 0 ⎜ P⋅l⋅<x> 3⋅P⋅<x> 5⋅P⋅<-l + x> P⋅<-2⋅l + x> ⎟ 0 ⎜ P⋅l⋅<x> 3⋅P⋅<x> 5⋅P⋅<-l + x> P⋅<-2⋅l + x> ⎟ 0
⎜────── - ───────────── + ───────────── - ─────────────⎟⋅<-2⋅l + x> ⎜- ──────── + ──────── - ───────────── + ─────────────⎟⋅<x> ⎜- ──────── + ──────── - ───────────── + ─────────────⎟⋅<-2⋅l + x>
⎝ 48 4 2 4 ⎠ ⎝ 4 8 8 4 ⎠ ⎝ 4 8 8 4 ⎠
──────────────────────────────────────────────────────────────────── + ──────────────────────────────────────────────────────────── - ───────────────────────────────────────────────────────────────────
E⋅I E⋅I E⋅I
>>> b.deflection()
⎛ 2 3 3 3⎞ ⎛ 2 3 3 3⎞ ⎛ 3 2 3 3 3⎞
⎜ P⋅l⋅<x> P⋅<x> 5⋅P⋅<-l + x> P⋅<-2⋅l + x> ⎟ 0 ⎜ P⋅l⋅<x> P⋅<x> 5⋅P⋅<-l + x> P⋅<-2⋅l + x> ⎟ 0 ⎜7⋅P⋅l 5⋅P⋅l ⋅(-2⋅l + x) P⋅<-2⋅l + x> P⋅<-3⋅l + x> P⋅<-4⋅l + x> ⎟ 0
⎜- ──────── + ────── - ───────────── + ─────────────⎟⋅<x> ⎜- ──────── + ────── - ───────────── + ─────────────⎟⋅<-2⋅l + x> ⎜────── + ───────────────── - ───────────── + ───────────── - ─────────────⎟⋅<-2⋅l + x>
⎝ 8 8 24 12 ⎠ ⎝ 8 8 24 12 ⎠ ⎝ 24 48 12 6 12 ⎠
────────────────────────────────────────────────────────── - ───────────────────────────────────────────────────────────────── + ────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
E⋅I E⋅I E⋅I
例9#
有一根4米长的悬臂梁。前2米的惯性矩为 1.5*I 和 I 剩下的。从其自由端的顶部施加20 N量级的点荷载。
---> x
\\\\| |
\\\\| 20 N v y
\\\\|________________ |
\\\\| |_______________V
\\\\| 1.5*I _______I_______|
\\\\|________________|
\\\\| :
\\\\|----------------|---------------|
2.0 m 2.0 m
>>> from sympy.physics.continuum_mechanics.beam import Beam
>>> from sympy import symbols
>>> E, I = symbols('E, I')
>>> R1, R2 = symbols('R1, R2')
>>> b1 = Beam(2, E, 1.5*I)
>>> b2 = Beam(2, E, I)
>>> b = b1.join(b2, "fixed")
>>> b.apply_load(20, 4, -1)
>>> b.apply_load(R1, 0, -1)
>>> b.apply_load(R2, 0, -2)
>>> b.bc_slope = [(0, 0)]
>>> b.bc_deflection = [(0, 0)]
>>> b.solve_for_reaction_loads(R1, R2)
>>> b.load
-2 -1 -1
80⋅<x> - 20⋅<x> + 20⋅<x - 4>
>>> b.shear_force()
-1 0 0
- 80⋅<x> + 20⋅<x> - 20⋅<x - 4>
>>> b.bending_moment()
0 1 1
- 80⋅<x> + 20⋅<x> - 20⋅<x - 4>
>>> b.slope()
⎛ 1 2 2 ⎞
⎜ - 80⋅<x> + 10⋅<x> - 10⋅<x - 4> 120 ⎟
⎜ ───────────────────────────────── + ─── ⎟ ⎛ 1 2 2⎞ 0 ⎛ 1 2 2⎞ 0
⎜ I I 80.0⎟ 0 0.666666666666667⋅⎝- 80⋅<x> + 10⋅<x> - 10⋅<x - 4> ⎠⋅<x> 0.666666666666667⋅⎝- 80⋅<x> + 10⋅<x> - 10⋅<x - 4> ⎠⋅<x - 2>
⎜- ─────────────────────────────────────── + ────⎟⋅<x - 2> - ────────────────────────────────────────────────────────── + ──────────────────────────────────────────────────────────────
⎝ E E⋅I ⎠ E⋅I E⋅I
示例10#
具有恒定抗弯刚度的组合梁 E*I ，是通过连接一根长度为 2*l 在另一根长梁的右边 l . 整个梁的两端都是固定的。巨大的点荷载 P 也从顶部应用，距离为 2*l 从起点开始。
---> x
|
\\\\| P v y |\\\\
\\\\| | |\\\\
\\\\| V |\\\\
\\\\|____________ ________________________|\\\\
\\\\|____________O________________________|\\\\
\\\\| : : |\\\\
\\\\| : : |\\\\
\\\\|------------|------------|-----------|\\\\
l l l
>>> from sympy.physics.continuum_mechanics.beam import Beam
>>> from sympy import symbols
>>> E, I = symbols('E, I')
>>> l = symbols('l', positive=True)
>>> b1 = Beam(l ,E,I)
>>> b2 = Beam(2*l ,E,I)
>>> b = b1.join(b2,"hinge")
>>> M1, A1, M2, A2, P = symbols('M1 A1 M2 A2 P')
>>> b.apply_load(A1, 0, -1)
>>> b.apply_load(M1, 0 ,-2)
>>> b.apply_load(P, 2*l, -1)
>>> b.apply_load(A2, 3*l, -1)
>>> b.apply_load(M2, 3*l, -2)
>>> b.bc_slope=[(0, 0), (3*l, 0)]
>>> b.bc_deflection=[(0, 0), (3*l, 0)]
>>> b.solve_for_reaction_loads(M1, A1, M2, A2)
>>> b.reaction_loads
⎧ -5⋅P -13⋅P 5⋅P⋅l -4⋅P⋅l ⎫
⎨A₁: ─────, A₂: ──────, M₁: ─────, M₂: ───────⎬
⎩ 18 18 18 9 ⎭
>>> b.load
-2 -2 -1 -1
5⋅P⋅l⋅<x> 4⋅P⋅l⋅<-3⋅l + x> 5⋅P⋅<x> -1 13⋅P⋅<-3⋅l + x>
─────────── - ────────────────── - ───────── + P⋅<-2⋅l + x> - ─────────────────
18 9 18 18
>>> b.shear_force()
-1 -1 0 0
5⋅P⋅l⋅<x> 4⋅P⋅l⋅<-3⋅l + x> 5⋅P⋅<x> 0 13⋅P⋅<-3⋅l + x>
- ─────────── + ────────────────── + ──────── - P⋅<-2⋅l + x> + ────────────────
18 9 18 18
>>> b.bending_moment()
0 0 1 1
5⋅P⋅l⋅<x> 4⋅P⋅l⋅<-3⋅l + x> 5⋅P⋅<x> 1 13⋅P⋅<-3⋅l + x>
- ────────── + ───────────────── + ──────── - P⋅<-2⋅l + x> + ────────────────
18 9 18 18
>>> b.slope()
⎛ 1 2 2⎞ ⎛ 1 2 2⎞ ⎛ 2 1 2 2 2⎞
⎜5⋅P⋅l⋅<x> 5⋅P⋅<x> 5⋅P⋅<-l + x> ⎟ 0 ⎜5⋅P⋅l⋅<x> 5⋅P⋅<x> 5⋅P⋅<-l + x> ⎟ 0 ⎜P⋅l 4⋅P⋅l⋅<-3⋅l + x> 5⋅P⋅<-l + x> P⋅<-2⋅l + x> 13⋅P⋅<-3⋅l + x> ⎟ 0
⎜────────── - ──────── + ─────────────⎟⋅<x> ⎜────────── - ──────── + ─────────────⎟⋅<-l + x> ⎜──── - ───────────────── - ───────────── + ───────────── - ────────────────⎟⋅<-l + x>
⎝ 18 36 36 ⎠ ⎝ 18 36 36 ⎠ ⎝ 18 9 36 2 36 ⎠
──────────────────────────────────────────── - ───────────────────────────────────────────────── + ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
E⋅I E⋅I E⋅I
>>> b.deflection()
⎛ 2 3 3⎞ ⎛ 2 3 3⎞ ⎛ 3 2 2 3 3 3⎞
⎜5⋅P⋅l⋅<x> 5⋅P⋅<x> 5⋅P⋅<-l + x> ⎟ 0 ⎜5⋅P⋅l⋅<x> 5⋅P⋅<x> 5⋅P⋅<-l + x> ⎟ 0 ⎜5⋅P⋅l P⋅l ⋅(-l + x) 2⋅P⋅l⋅<-3⋅l + x> 5⋅P⋅<-l + x> P⋅<-2⋅l + x> 13⋅P⋅<-3⋅l + x> ⎟ 0
⎜────────── - ──────── + ─────────────⎟⋅<x> ⎜────────── - ──────── + ─────────────⎟⋅<-l + x> ⎜────── + ───────────── - ───────────────── - ───────────── + ───────────── - ────────────────⎟⋅<-l + x>
⎝ 36 108 108 ⎠ ⎝ 36 108 108 ⎠ ⎝ 54 18 9 108 6 108 ⎠
──────────────────────────────────────────── - ───────────────────────────────────────────────── + ─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
E⋅I E⋅I E⋅I
例11#
由多项式定义的任何类型的荷载都可以应用于梁。这允许任意载荷分布的近似值。下面的示例显示了横跨梁表面的六个截断多项式荷载。
>>> n = 6
>>> b = Beam(10*n, E, I)
>>> for i in range(n):
... b.apply_load(1 / (5**i), 10*i + 5, i, end=10*i + 10)
>>> plot(b.load, (x, 0, 10*n))
