三角形重心性质证明

三角形重心性质证明


发布日期: 2016-10-24 更新日期: 2017-01-03 编辑:xuzhiping 浏览次数: 19375

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摘要: 1、重心到极点的间隔与重心到对边中点的间隔之比为2:1。 例:已知:△ABC,E、F是AB,AC的中点。EC、FB交于G。 求证:EG=1/2CG 证实:过E作EH∥BF交AC于H。 ∵AE=BE,EH//BF ∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成份额定...

1、重心到极点的间隔与重心到对边中点的间隔之比为2:1。

例:已知:△ABC,E、F是AB,AC的中点。EC、FB交于G。

求证:EG=1/2CG

证实:过E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE,EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成份额定理)

又∵ AF=CF

∴HF=1/2CF

∴HF:CF=1/2

∵EH∥BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2

∴EG=1/2CG

2、重心和三角形3个极点构成的3个三角形面积相等。

证实办法:

在△ABC内,三边为a,b,c,点O是该三角形的重心,AOA'、BOB'、COC'别离为a、b、c边上的中线。依据重心性质知:

OA'=1/3AA'

OB'=1/3BB'

OC'=1/3CC'

过O,A别离作a边上高OH',AH

可知OH'=1/3AH

则,S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC

同理可证S△AOC=1/3S△ABC

S△AOB=1/3S△ABC

所以,S△BOC=S△AOC=S△AOB

3、重心到三角形3个极点间隔平方的和最小。 (等边三角形)

证实办法:

设三角形三个极点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上恣意一点为(x,y) 则该点到三极点间隔平方和为:

(x1-x)2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2+(x3-x)2+(y3-y)2

=3x2-2x(x1+x2+x3)+3y2-2y(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32

=3[x-1/3(x1+x2+x3)]2+3[y-1/3(y1+y2+y3)]2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2

明显当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3(重心坐标)时

上式获得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2

终究得出结论。

4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是极点坐标的算术平均数,

即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3];

空间直角坐标系——横坐标:(X1+X2+X3)/3,纵坐标:(Y1+Y2+Y3)/3

5、三角形内到三边间隔之积最大的点。

6、在△ABC中,若MA向量+MB向量+MC向量=0(向量) ,则M点为△ABC的重心,反之也建立。

7、设△ABC重心为G点,地点平面有一点O,则向量OG=1/3(向量OA+向量OB+向量OC)

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