摘要: 1、重心到极点的间隔与重心到对边中点的间隔之比为2：1。 例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。 求证：EG=1/2CG 证实：过E作EH∥BF交AC于H。 ∵AE=BE，EH//BF ∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成份额定...
1、重心到极点的间隔与重心到对边中点的间隔之比为2：1。
例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。
求证：EG=1/2CG
证实：过E作EH∥BF交AC于H。
∵AE=BE，EH//BF
∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成份额定理)
又∵ AF=CF
∴HF=1/2CF
∴HF:CF=1/2
∵EH∥BF
∴EG:CG=HF:CF=1/2
∴EG=1/2CG
2、重心和三角形3个极点构成的3个三角形面积相等。
证实办法：
在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'别离为a、b、c边上的中线。依据重心性质知：
OA'=1/3AA'
OB'=1/3BB'
OC'=1/3CC'
过O，A别离作a边上高OH'，AH
可知OH'=1/3AH
则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC
同理可证S△AOC=1/3S△ABC
S△AOB=1/3S△ABC
所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB
3、重心到三角形3个极点间隔平方的和最小。 (等边三角形）
证实办法：
设三角形三个极点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上恣意一点为（x，y） 则该点到三极点间隔平方和为：
(x1-x)2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2+(x3-x)2+(y3-y)2
=3x2-2x(x1+x2+x3)+3y2-2y(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32
=3[x-1/3(x1+x2+x3)]2+3[y-1/3(y1+y2+y3)]2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2
明显当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时
上式获得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2
终究得出结论。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是极点坐标的算术平均数，
即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；
空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3
5、三角形内到三边间隔之积最大的点。
6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也建立。
7、设△ABC重心为G点，地点平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）
