摘要: 等腰直角三角形 1、定义 有一个角是直角的等腰三角形,叫做等腰直角三角形。它是一种特别的三角形,具有一切等腰三角形的性质,一起又具有一切直角三角形的性质。 2、联系 等腰直角三角形的边角之间的联系 : ⑴三角形三内角和等于180°。 ⑵三角形的一个外角等于和它...
等腰直角三角形
1、定义
有一个角是直角的等腰三角形,叫做等腰直角三角形。它是一种特别的三角形,具有一切等腰三角形的性质,一起又具有一切直角三角形的性质。
2、联系
等腰直角三角形的边角之间的联系 :
⑴三角形三内角和等于180°。
⑵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
⑶三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
⑷三角形两头之和大于第三边,两头之差小于第三边。
⑸在同一个三角形内,等边对等角,等角对等边。
3.四条特别的线段:角平分线,中线,高,中位线。
⑴三角形的角平分线的交点叫做三角形的心里,它是三角形内切圆的圆心,它到各边的间隔持平。
⑵三角形的外接圆圆心,即外心,是三角形三边的垂直平分线的交点,它到三个极点的间隔持平。
⑶三角形的三条中线的交点叫三角形的重心,它到每个极点的间隔等于它到对边中点的间隔的两倍。
⑷三角形的三条高或它们的延长线的交点叫做三角形的垂心。
⑸三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。
(6)三角形斜边上的高等于斜边的一半。
补白:
①三角形的心里、重心都在三角形的内部 .
②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。
③直角三角形垂心、外心在三角形的边上(直角三角形的垂心为直角极点,外心为斜边中点)。
④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
黄金三角形
1.名称定义
所谓黄金三角形是一个等腰三角形,其腰与底的长度比为黄金比值。对应的还有黄金矩形等。
2.黄金三角形的分类
黄金三角形分两种:
一种是等腰三角形,两个底角为72°,顶角为36°;这种三角形既漂亮又规范。这么的三角形的底与一腰之长之比为黄金比:(√5-1)/2。
另一种也是等腰三角形,两个底角为36°,顶角为108°;这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比:(√5-1)/2。
3.黄金三角形的特征
黄金三角形是一个等腰三角形,它的顶角为36°,每个底角为72°,它的腰与它的底成黄金比。当底角被平分时,角平分线分对边也成黄金比,并构成两个较小的等腰三角形。这两三角形之一类似于原三角形,而另一三角形可用于发生螺旋形曲线。
黄金三角形的一个几何特征是:它是仅有一种能够由5个与其全等的三角形生成其类似三角形的三角形。
把五个黄金三角形称为“小三角形”,拼成的类似黄金三角形称为“大三角形”。则出题能够理解为:五个小三角形能够不堆叠又不超出地充溢大三角形。要满意这种填充,必要条件之一是大三角形的每条边都能够由若干条小三角形的边相加而成。
依据界说,第一种黄金三角形是腰与底的比值为(√5+1)/2的等腰三角形,顶角为36°,底角为72°。
设小三角形的底为a,则腰为b=(√5+1)a/2,因为大三角形的面积为小三角形的5倍,则大三角形的边长
为小三角形对应边长的√5倍,即大三角形的底为A=√5 a,
腰为B=√5 *(√5+1)a/2=(√5+5)a/2。
大三角形的腰B与小三角形边的联系满意:B=2a+b。
而大三角形的底A与小三角形边的联系可列举如下: 2ab<A<b+a
可见大三角形底边的附近区域无法由小三角形不堆叠又不超地来填充。故出题错。
别的一种黄金三角形是腰与底的比值为(√5-1)/2的等腰三角形,顶角为108°,底角为36°。
设小三角形的底为a,则腰为b=(√5-1)a/2。相同能够证实:
A=2b+a
2b<B<3b
a<B<b+a
可见大三角形腰的附近区域无法由小三角形不堆叠又不超出地填充(图2)。故出题错。
事实上,勾为a,股为b=2a的;直角三角形能够满意出题要求。
明显,弦c=√a2+b2 =√5 a。
三角形的对应边:
A=√5 a=c,
B=2A=2c,
C=√5 *(√5a)=5a=2b+a 。
满意上述必要条件。是不是建立还要验证,结果是对的。本三角形是不是仅有满意出题还不明白。
顶角36°的黄金三角形按任意一底角的角平分线分红两个小等腰三角形,且其间一个等腰三角形的底角是另一个的2倍。顶角是108°的黄金三角形把顶角一个72°和一个36°的角,这条分线也把黄金三角形分红两个小等腰三角形,且其间一个等腰三角形的底角也是另一个的2倍。
等边三角形
定义
所谓的等边三角形,是三边都持平的等腰三角形。
2.性质
⑴每个角都为60°,三角形三内角和等于180°。
⑵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
⑶三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
⑷三角形两头之和大于第三边,两头之差小于第三边。
⑸在同一个三角形内,大边对大角,大角对大边。