无理数与有理数判断

无理数与有理数

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数，是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、√2等。也是开方开不尽的数。而有理数由所有分数，整数组成，总能写成整数、有限小数或无限循环小数，并且总能写成两整数之比，如22/7等。例如：π

无理数与有理数的区别

1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数,比如4=4.0；4/5=0.8；1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数.

2、无理数不能写成两整数之比。

利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数

证明：假设√2不是无理数，而是有理数。既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q，又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q 为最简分数，即最简分数形式。把 √2=p/q 两边平方得，2=(p²)/(q²) ，即 2(q²)=p²。由于2q²是偶数，p 必定为偶数

设p=2m， 由 2(q²)=4(m²)得，q²=2m²

同理q必然也为偶数，设q=2n， 既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是最简分数矛盾。

这个矛盾是由假设√2是有理数引起的。因此√2是无理数。

判断a√b是否无理数（a,b是整数）

若a√b是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：a√b=c/d（c/d是最简分数)， 两边a次方得，b=c^a/d^a

即c^a=b*(d^a) c^a，一定是b的整数倍

设c^a=bⁿ*p

同理b*(d^a)

必然也为b的整数倍

设b(d^a)=b(b^m*q)。

其中p和q都不是b的整数倍，左边b的因子数是a的倍数，要想等式成立，右边b的因子数必是a的倍数，推出当且仅当b是完全a次方数，a√b才是有理数，否则为无理数。