究竟什么是有理数

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究竟什么是有理数

2016-12-07 作者: xuzhiping 浏览: 2927 次

摘要: 在数学上,有理数是一个整数a和一个非零整数b的比,例如3/8,通则为a/b,故又称作分数。0也是有理数。有理数是整数和分数的集合,整数亦可看做是分母为一的分数。无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数 ,比方π,3.1415926535897932384626....

在数学上,有理数是一个整数a和一个非零整数b的比,例如3/8,通则为a/b,故又称作分数。0也是有理数。有理数是整数和分数的集合,整数亦可看做是分母为一的分数。无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数 ,比方π,3.1415926535897932384626......。而有理数恰恰与它相反,整数和分数总称为有理数 ,包含整数和通常所说的分数,此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。这一定义在数的十进制和其他进位制(如二进制)下都适用。

数学上,有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比,通常写作 a/b,因此又叫作分数。希腊文称为 λογος ,原意为“成比例的数”(rational number),但中文翻译不恰当,逐步成为“有道理的数”。不是有理数的实数遂称为无理数。一切有理数的集合表示为 Q,有理数的小数有些有限或为循环。有理数分为整数和分数,整数又分为正整数、负整数和0,分数又分为正分数、负分数,正整数和0又被称为自然数,如3,-98.11,5.72727272……,7/22全是有理数。全部有理数构成一个集合,即有理数集,用粗体字母Q表示,而现代的一些数学书则用空心字母Q表明。

有理数集是实数集的子集。有理数集是一个域,即在其间可进行四则运算(0作除数在外),而且关于这些运算,以下的运算律建立(a、b、c等全部表示任何的有理数):

①加法的交换律 a+b=b+a;

②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c;

③存在数0,使 0+a=a+0=a;

④对任何有理数a,存在一个加法逆元,记作-a,使a+(-a)=(-a)+a=0;

⑤乘法的交换律 ab=ba;

⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c;

⑦分配律 a(b+c)=ab+ac;

⑧存在乘法的单位元1≠0,使得对任何有理数a,1a=a1=a;

⑨关于不为0的有理数a,存在乘法逆元1/a,使a(1/a)=(1/a)a=1。

⑩0a=0 文字解说:一个数乘0还于0。

此外,有理数是一个序域,即在其上存在一个次第联系。有理数也是一个阿基米德域,即对有理数a和b,a≥0,b>0,必可找到一个自然数n,使nb>a。由此不难推断,不存在最大的有理数。

“有理数”这一称号难免叫人难以理解,有理数并不比其他数更“有道理”。事实上,这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来,在英语中是rational number,而rational通常的含义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学作品,依据日语中的翻译办法,以讹传讹,把它译成了“有理数”。可是,这个词来源于古希腊,其英文词根为ratio,即是比率的意思。所以这个词的含义也很显豁,即是整数的“比”。与之相对,“无理数”即是不能准确表明为两个整数之比的数,而不是没有道理。

有理数加减混合运算

1.理数加减统一成加法的含义:

关于加减混合运算中的减法,我们能够依据有理数减法法则将减法转化为加法,这样就可将混合运算一致为加法运算,一致后的式子是几个正数或负数的和的方式,我们把这样的式子叫做代数和。

2.有理数加减混合运算的办法和步骤:

(1)运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。

(2)运用加法法则,加法交换律,加法结合律简洁运算。

有理数范围内已有的绝对值,相反数等概念,在实数规模内有相同的含义。一般情况下,有理数是这么分类的:

整数、分数;正数、负数和零;负有理数,非负有理数。整数和分数总称有理数,有理数能够用a/b的方式表达,其间a、b都是整数,且互质。我们平时常常运用有理数的,比方多少钱,多少斤等。但凡不能用a/b方式表达的实数即是无理数,又名无限不循环小数。

一个艰难的问题

有理数的终点在哪里?依据定义,无限循环小数和有限小数(整数能够为是小数点后是0的小数),总称为有理数,无限不循环小数是无理数。但人类不可能写出一个位数最多的有理数,对全世界人们,或比地球人更才智的生物来说是有理数的数,对每个地球人来说,可能是无法知道它是有理数仍是无理数了。因而有理数和无理数的边界,居然紧靠无理数,任何两个非常挨近的无理数中心,都能够加入无限多的有理数,反之也建立。

定理:位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的,尽管它的定义是有有限位,但它是无限趋近于无理数的,以致于没有方法进行判别。

证实:假定位数最多的非无限循环有理数被写出,我们在这个数的最终再加一位,这个数仍是有限位有理数,但位数比已写出有理数多一位,证实本来写出的不是位数最多的非无限循环有理数。所以位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的。

关于无理数与有理数无法对比的阐明:

关于定义无限不循环小数是无理数,无理数以外是有理数。则无理数很难被证实,而每一个无理数,不管知道多少位,都有有理数对应,而位数较短的有理数,都没有无理数对应,因而有理数多。

关于定义为有限位小数和无限循环小数为有理数,无限不循环数为无理数。关于许多位数多的无法分辩的数没有明确归属,而以为大于特定有限位的数都是无理数的人,才能证实无理数比有理数多,但那明显是将许多许多有理数归为无理数的成果。在这个定义下,因为边界不明,无法进行对比,除非有人能有力的证实。无限不循环小数不是有理数,如:

0.10100100010000100000......

0.1200000012000012000000120000......

π等是无限不循环小数,所以不是有理数,循环小数化分数的办法0.777777......有一个数循环,分母是一个9,循环数是7.化分数后是7/9,0.535353......,有两个数循环,分母是两个9,循环数是53.化分数后是53/99。我们能够在数轴上表明有理数.注意画数轴的三要素(原点,正方向,单位长度).

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