三角形的判定方法

判定方法

判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2：若 ，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。

判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。

判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么这个三角形为直角三角形。

判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。参考直角三角形

斜边中线定理

判定7：一个三角形30°角所对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形。

判定3和7的证明：

已知△ABC中，∠A=30°，∠A，∠C对的边分别为a，c，且a= c。求证∠C=90°

证法1 ：

正弦定理，在△ABC中，有a:sinA=c:sinC

将a与c的关系及∠A的度数代入之后化简得sinC=1

又∵0<∠C<180°

∴∠C=90°

证法2

反证法，假设∠ACB≠90°，过B作BD⊥AC于D

在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠A=30°

∴BD= AB（30°的直角边等于斜边的一半）

又∵BC= AB

∴BC=BD

但BD是B到直线AC的垂线段，根据垂线段最短可知BD<BC，从而出现矛盾。

（或从BC=BD得∠BCD=∠BDC=90°，那么△BCD中就有两个直角，这是不可能的事情）

∴假设不成立，∠ACB=90°

证法3

利用三角形的外接圆证明

作△ABC的外接圆，设圆心为O，连接OC,OB

∵∠BAC=30°，A在圆上

∴∠BOC=60°

∵OB=OC=半径r

∴△BOC是等边三角形,BC=OC=r

又∵AB=2BC=2r

∴AB是直径

∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)

证法4

利用对称的思想

作B关于直线AC对称的点D，连接AD,BD

由对称可得△ABC≌△ADC

∴AB=AD,BC=DC，∠BAD=2∠BAC=60°

∴BD=AB

设BC=k，则AB=2k，CD=k，BD=2k

∵CB+CD=k+k=2k=BD

∴C在BD上（若不共线则与三角形两边之和大于第三边矛盾）

且BC=k=BD/2，即C是BD中点

∴∠ACB=90°(三线合一)