与三角形外心、内心、重心相关的关系和定理

2017-01-04 作者: xuzhiping 浏览: 1143 次

摘要: 外心即外接圆的圆心,此时三角形三个顶点在圆上,圆心到三个顶点的距离相等,即外心到三角形三个顶点距离相等,因此外心是三角形三条边的中垂线的交点。   内心即内切圆的圆心,此时三角形三条边都与圆相切,圆心到三条边的距离相等,即内心到三角形三个顶点距离相等,因此内心....

外心即外接圆的圆心,此时三角形三个顶点在圆上,圆心到三个顶点的距离相等,即外心到三角形三个顶点距离相等,因此外心是三角形三条边的中垂线的交点。  

内心即内切圆的圆心,此时三角形三条边都与圆相切,圆心到三条边的距离相等,即内心到三角形三个顶点距离相等,因此内心是三角形三个角的角平分线交点。  

重心即三条中线的交点,分别通过三个顶点与对边中点相连,中线的交点即是重心,重心把三条中线分成1:2,即重心与中点的距离与重心与顶点的距离比为1:2。 

垂心即三条高的交点,分别通过三个顶点相对边作垂线,垂线的交点即是垂心。       

重心的性质:    

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。    

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。  

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。    

4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3。    

5、以重心为起点,以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。  

外心的性质:    

1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形外心。 

2、若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A(∠A为锐角或直角)或∠BOC=360°-2∠A(∠A为钝角). 

3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合。    

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量:d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3。外心坐标:( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c )。 

5、外心到三顶点的距离相等  

内心的性质:    

1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。

2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。    

3、P为ΔABC所在空间中任意一点,点0是ΔABC内心的充要条件是:向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).  

4、O为三角形的内心,A、B、C分别为三角形的三个顶点,延长AO交BC边于N,则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 

5、(欧拉定理)⊿ABC中,R和r分别为外接圆为和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则OI^2=R^2-2Rr.    

6、(内角平分线分三边长度关系)   △ABC中,0为内心,∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R, 则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.   

7、内心到三角形三边距离相等。

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