摘要: 伯努利不等式: 设x>-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则(1+x)n≥1+nx. 证明: 先证明对所有正整数不等式成立。用数学归纳法: 当n=1,上个式子成立, 设对n-1,有: (1+x)n-1≥1+(n-1)x成立, 则 (1+x)n =(1...
伯努利不等式:
设x>-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则(1+x)n≥1+nx.
证明:
先证明对所有正整数不等式成立。用数学归纳法:
当n=1,上个式子成立, 设对n-1,有:
(1+x)n-1≥1+(n-1)x成立, 则 (1+x)n =(1+x)n-1(1+x) ≥1+(n-1)x
=1+(n-1)x+x+(n-1)x2=1+nx+nx2-x2 ≥1+nx
就是对一切的自然数,当 x≥-1,有 (1+x)n≥1+nx
下面把伯努利不等式推广到实数幂形式:
若r ≤0或r ≥ 1,有(1+x)r ≥ 1 + rx 若0 ≤ r ≤ 1,有(1+x)r ≤ 1 + rx
这个不等式可以直接通过微分进行证明,
方法如下: 如果r=0,1,则结论是显然的
如果r≠0,1,作辅助函数f(x)=(1+x)r-(1+rx), 那么f'(x)=r*(1+x)r-1-r, 则f'(x)=0 ↔ x=0;
下面分情况讨论:
1.0 < r < 1,则对于x > 0,f'(x) < 0;对于 − 1 < x < 0,f'(x) > 0
。严格递增,因此f(x)在x = 0处取最大值0,故得(1+x)r ≤ 1+rx。
2.r < 0或r > 1,则对于x > 0,f'(x) > 0;对于 − 1 < x < 0,f'(x) < 0。
严格递减,因此f(x)在x = 0处取最小值0,故得(1+x)r ≥ 1+rx
命题得证