直角三角形特殊性质

直角三角形除了具有通常三角形的性质外，具有一些特别的性质：

性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图，∠BAC=90°，则AB²+AC²=BC²（勾股定理)

性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。该性质称为直角三角形斜边中线定理。

性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

性质5:直角Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：

（1）\((AD)^2=BD·DC\)。

（2）\((AB)^2=BD·BC\)。

（3）\((AC)^2=CD·BC\)。

射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。是数学图形核算的主要定理。

性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。

证实办法多种，下面采纳较简单的几许证法。

先证实定理的前半有些，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，那么BC=AB/2

∵∠A=30°

∴∠B=60°（直角三角形两锐角互余）

取AB中点D，衔接CD，依据直角三角形斜边中线定理可知CD=BD

∴△BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）

∴BC=BD=AB/2

再证实定理的后半有些，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB/2，那么∠A=30° 取AB中点D，衔接CD,那么CD=BD=AB/2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

又∵BC=AB/2

∴BC=CD=BD

∴∠B=60°

∴∠A=30°

性质7:在直角Rt△ABC中∠BAC=90°，AD是斜边上的高，则：

\( \frac {1}{AB^2} + \frac {1}{AC^2} = \frac {1}{AD^2} \)

证实：S△ABC=1/2ABAC=1/2ADBC

两头乘以2，再平方得AB²AC²=AD²BC²

运用勾股定理，再两头除以\(AB^2 * AC^2 * AD^2\)，最终化简即得

\( \frac {1}{AB^2} + \frac {1}{AC^2} = \frac {1}{AD^2} \)

性质8:直角三角形被斜边上的高分红的两个直角三角形和原三角形相似。