冰霍数列的猜想

冰霍数列的猜想

2016-11-08 作者: xuzhiping 浏览: 3852 次

摘要: 1980年代中期的某一天,在美国电话电报公司工作的数学家拉格尼阿斯举办了一场演讲,内容是关于一个他花了无数时间却找不到解答的问题。事实上,他离答案还远得很!他表示,依照经验来看,那是个危险的问题,因为那些钻研其中的人都付出了精神及肉体健康的代价。 这个危险的问...

1980年代中期的某一天,在美国电话电报公司工作的数学家拉格尼阿斯举办了一场演讲,内容是关于一个他花了无数时间却找不到解答的问题。事实上,他离答案还远得很!他表示,依照经验来看,那是个危险的问题,因为那些钻研其中的人都付出了精神及肉体健康的代价。

这个危险的问题到底是什么?

1932年,20岁的德国数学系学生科拉茨(Lothar Collatz,1910~1990)碰到了一个数学难题,乍看之下,那似乎只是个简单的计算。假设有一个正整数,如果它是偶数,将它除以2,也就是/2;如果是奇数,就乘以3,再加1,再减半,也就是(3*+1 )/2;然后,将所得的结果重复计算一次,直到计算结果等于1为止,否则就继续下去。

科拉茨观察到,无论从哪个正整数开始,重复上述迭代流程后,迟早会得到1这个数字。以13为例,得出的数列是:20,10,5,8,4,2,1;再以25为例,则会得出38,19,29,44,22,11,17,26,13,20,10,5,8,4,2,然后又是1。科拉茨测试过,无论从什么数字开始,最后的结果总是1。

这位年轻的学生大吃一惊,该数列本应该轻易就转为无穷多项或陷入无尽循环之中(不包括1),这两种情况至少也要偶尔发生 一、两次才对啊!但并非如此。每一次算到最后,得到的结果都是1, 因此科拉茨怀疑他可能发现了一个新的数论定律。他立刻开始为前述猜想寻求证明,结果只是白费力气,既无法证明,也找不到反例,也就是最后结果不是1的数列(在数学领域中,只要找出一个反例就足以推翻一个猜想)。科拉茨终其一生都无法针对他的猜想,发表任何一篇引人注意的论文。

第一次世界大战期间,在曼哈顿计划中担任要职的波兰数学家乌拉姆选上了这个问题。为了消磨空闲时间(在洛斯阿拉莫斯的傍晚并没有很多事可做),乌拉姆研究了这个猜想,但无法找出证明。他把这件事告诉了朋友,从此他们就称这个问题为“乌拉姆的难题”。

又过几年后,汉堡大学数论家哈塞也在这个古怪的谜题上摔了一跤。哈塞对这个问题深深着迷,在德国及海外四处发表相关演讲。有一次,一位听众发现这个数列就像落地前在云朵中的冰雹一样,忽上忽下——又是改名的时候了——从此这个数列就叫做“冰雹数列”,而计算的方法则称 为哈塞算法。当哈塞在锡拉丘兹大学演讲提到这个问题时,当时的听众称其为“锡拉丘兹问题”。

接下来,日本数学家角谷静夫在耶鲁大学与芝加哥大学做相关演讲时,这个问题又立刻变成“角谷问题”。角谷静夫的演讲引发了许多教授、助理以及学生的研究热潮,但关于这个问题的证明仍旧毫无进展。它难倒了每个人!因此,有一个谣言开始四处流传,说这个难题是狡猾的日本人为了阻止美国数学发展而制造出来的阴谋。

由于世人早就忘记科拉茨最初的贡献,因此科拉茨在1980年提醒大众,是他发现了这个数列。他在寄给同事的信函中写道:“谢谢你的来信,也谢谢你对我五十几年前就探究过的函数感兴趣。” 接着,他解释说,当时他只有一台台式计算器可用,所以无法计算较大数字的冰雹数列。他在信末加注道:“希望你不会觉得我厚脸皮,我想告诉你,当时哈塞教授称这个谜题为‘科拉茨问题’。”

1985年,英格兰米尔索普的思韦茨爵士(Sir Bryan Thwaites)发表了一篇论文,引发一些关于谁是这个猜想作者的怀疑。文章的标题为《我的猜想》,思韦茨爵士坚称他是30年前这个问题的创始人。后来他又投书《伦敦时报》悬赏1000英镑奖金,提供给能够严格证明这个未来应该被称为“思韦茨猜想”的数列的人。

1990年,科拉茨在数值数学领域已享有盛名,并在80岁生日后不久过世,可惜他始终不知道现在通常被叫做“科拉茨猜想”(他知道了应该会很高兴)的问题,到底是对还是错。

同时,数学家已经找到了新的工具一计算机。现在任何人都可以在个人计算机上证明,科拉茨猜想对前面几千个数字是成立的。事实上,借助超级计算机,\(27 \times 10^{15}\)以下的数字已经全部通过测试,所有数字的冰霍数列都是以1结束。

这种数值计算当然不能算是证明,它们只是发现了一些历史纪录,其中之一就是目前最长的冰霍数列:某个15位数的冰雹数列在回到1之前,共有1820个数字那么多。然而,拉格尼阿斯在令人泄气的努力过程中,倒是证明了一个反例(如果有的话)必须有一个至少包含275000个路径点的循环。

因此,计算机对找出科拉茨猜想的反例并没有什么帮助。在最后的分析中,数列并非是计算机能决定的,因为只有满足科拉茨猜想的数字,也就是其冰雹数列结束于1的数字,才会让计算机程序终止。如果真的有反例(无论是冰雹数列趋向无穷多项,或者进入非常长但不包括1的循环),计算机只会产生数字,而不会停止。坐在计算机屏幕前的数学家,永远无法知道数列是否最后会趋向无穷多项或开始进入循环,他很可能在某个时间点直接按下Esc键,然后回家去。

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