数列与总和的研究与发现

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数列与总和的研究与发现

2016-11-08 作者: xuzhiping 浏览: 860 次

摘要: j,…这个无穷数列之和会趋近于2,只要将前面几项加起来就容易猜到,但你不应该因而相信每个递减的无穷数列之和都是个有限大的数。例如,所谓调和级数,即1+ + + + + + …就趋近于无穷大;它的增加很缓慢,前面1亿7千8百万项的总和才达到20。用数学的专业术语....

j,…这个无穷数列之和会趋近于2,只要将前面几项加起来就容易猜到,但你不应该因而相信每个递减的无穷数列之和都是个有限大的数。例如,所谓调和级数,即1+ + + + + + …就趋近于无穷大;它的增加很缓慢,前面1亿7千8百万项的总和才达到20。用数学的专业术语来说,调和级数是发散级数,而总和为有限大的无穷数列则被称为收敛级数。

在启蒙时期,数列及其总和被认为是重要的研究领域。1644 年,意大利博洛尼亚19岁的学生门戈利提出一个问题: 平方数倒数数列的总和是否收敛?如果是的话,会趋近哪个数?

门戈利年复一年地累积了深厚的无穷数列研究经验。举例来说,他证明了调和级数是发散的,但交错调和级数(各项的加减符号依序交替)则收敛于0.6931。但门戈利没有解出平方倒数级数的问题,他猜测其总和会接近1.64,但不太确定。

几年后,瑞士巴塞尔的数学家雅各布•伯努利也追赶过这个神秘数列的潮流,这个因数学才能而闻名全欧的科学家同样没有找到答案。屡受挫折后,于1689年,他写了一张公告:“凡是有人发现任何蛛丝马迹,请好心告诉我们,我们必会感激不尽。”

进入18世纪后,欧洲的学者们被这个特别问题深深吸引,这个数列与环绕在周遭的神秘气氛,变成了沙龙里社会精英的热门话题,它很快就与当时已有50年历史的费马问题并驾其驱。几位数学家从中吸取了不少宝贵经验,包括苏格兰的斯特林、法国的棣莫弗、德国的莱布尼茨。到了1726年,这个问题回到了家乡巴塞尔。

雅各布的弟弟约翰凭着本身的条件成为了著名的数学家,他有一个异常聪明的学生一巴塞尔人欧拉,被认为是数学界一颗耀眼的新星。约翰为了鼓励欧拉,要他想办法解答这个问题。由于与巴塞尔数学家之间的密切关系,平方数的倒数问题从此被称为巴塞尔问题。

欧拉花了许多年研究这个问题,有时会暂时搁置几个月,然后又继续努力寻求解答。最后,1735年秋天,欧拉相信自己已经找到答案,那差不多是门戈利第一次想到这个数列的半世纪后了。欧拉声称,若计算到小数后第6位,总和应该是1.644934。

他是如何得到这个答案的?当然,他并没有把整个数列的各项总加起来。为了计算到小数第5位,欧拉必须考虑65000多项。显而易见,这位瑞士数学家在能够提出证明之前,就先猜出了总和的正确值:有一段时间,欧拉拒绝公布答案,因为他自己也对结果感到十分讶异一TT,圆周与直径的比值,到底跟这个总和有什么共性?

几星期后,随着《倒数数列总和》出版,欧拉为他的断言提出了证明。他在文中提到,他“无意中发现了一条简洁的公式,可以计算1+丄+丄+丄,,它与将圆转化为面积相等的正方形有关”。

约翰既惊讶,又松了口气。“我哥哥的热切愿望终于获得了满足。”他说道,“他向来认为,这一级数之和的研究比任何人想象的都要复杂,而且他曾公开承认自己的失败。”

欧拉是在研读三角函数时偶而发现这个公式的,因此答案的出现其实出乎意料。所谓的正弦函数的级数展开式与该平方倒数级数密切相关,又因为三角函数与圆有关,因此数字TT才会是答案的一部分。

欧拉的证明建立起了级数与积分学之间的关系,当时后者还是数学的新兴分支。今天大家都知道,巴塞尔级数代表一个更一般的函数(即5函数)的特例,该函数在现代数学中举足轻重。

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