摘要: 递推公式 斐波那契数列:\(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...\) 如果设\(F(n)\)为该数列的第n项\((n∈N*)\),那么这句话可以写成如下形式: 显然这是一个线性递推数列。 通项公式 ...
递推公式
斐波那契数列:\(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...\)
如果设\(F(n)\)为该数列的第n项\((n∈N*)\),那么这句话可以写成如下形式:
显然这是一个线性递推数列。
通项公式
(如上,又称为“比内公式”,是用无理数表示有理数的一个范例。)
注:此时\(a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3,n∈N*)\)
通项公式推导
方法一:利用特征方程(线性代数解法)
线性递推数列的特征方程为: \(X^2=X+1\) 解得
\(X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2\)
则\(F(n)=C1X1^n + C2X2^n\)
∵\(F(1)=F(2)=1\)
∴\(C1X1 + C2X2=C1X1^2 + C2X2^2=1\)
解得\(C1=\frac {1}{√5},C2=\frac {-1}{√5}\)
∴\(F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}\)【√5表示根号5】
方法二:待定系数法构造等比数列1(初等代数解法)
设常数\(r,s\)。
使得\(F(n)-rF(n-1)=s[F(n-1)-rF(n-2)]\)。
则\(r+s=1,-rs=1\)
\(n≥3\)时,有。
\(F(n)-rF(n-1)=s[F(n-1)-rF(n-2)]\)。
\(F(n-1)-rF(n-2)=s[F(n-2)-rF(n-3)]\)。
\(F(n-2)-rF(n-3)=s[F(n-3)-rF(n-4)]\)。
\(……\)
\(F⑶-rF⑵=s[F⑵-rF⑴]\)。
联立以上\(n-2\)个式子,得:
\(F(n)-rF(n-1)=[s^(n-2)][F⑵-rF⑴]\)。
∵\(s=1-r,F⑴=F⑵=1\)。
上式可化简得:
\(F(n)=s^(n-1)+rF(n-1)\)。
那么:
\(F(n)=s^(n-1)+rF(n-1)\)。
\(= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2F(n-2)\)。
\(= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2s^(n-3) + r^3F(n-3)\)。
\(……\)
\(= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2s^(n-3) +……+ r^(n-2)s + r^(n-1)F⑴\)。
\(= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2s^(n-3) +……+ r^(n-2)s + r^(n-1)\)。
(这是一个以\(s^(n-1)\)为首项、以\(r^(n-1)\)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和)。
\(=[s^(n-1)-r^(n-1)r/s]/(1-r/s)\)。
\(=(s^n - r^n)/(s-r)\)。
\(r+s=1, -rs=1\)的一解为\( s=(1+√5)/2,r=(1-√5)/2\)。
则\(F(n)=(√5/5){[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}\)。