斐波那契数列的通用公式

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斐波那契数列的通用公式

2017-01-03 作者: xuzhiping 浏览: 1670 次

摘要: 递推公式 斐波那契数列:\(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...\) 如果设\(F(n)\)为该数列的第n项\((n∈N*)\),那么这句话可以写成如下形式: 显然这是一个线性递推数列。 通项公式 ...

递推公式

斐波那契数列:\(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...\)

如果设\(F(n)\)为该数列的第n项\((n∈N*)\),那么这句话可以写成如下形式:

显然这是一个线性递推数列。

通项公式

(如上,又称为“比内公式”,是用无理数表示有理数的一个范例。)

注:此时\(a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3,n∈N*)\)

通项公式推导

方法一:利用特征方程(线性代数解法)

线性递推数列的特征方程为:    \(X^2=X+1\)    解得   

\(X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2\)   

则\(F(n)=C1X1^n + C2X2^n\)   

∵\(F(1)=F(2)=1\)   

∴\(C1X1 + C2X2=C1X1^2 + C2X2^2=1\)   

解得\(C1=\frac {1}{√5},C2=\frac {-1}{√5}\)   

∴\(F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}\)【√5表示根号5】

方法二:待定系数法构造等比数列1(初等代数解法)

设常数\(r,s\)。

使得\(F(n)-rF(n-1)=s[F(n-1)-rF(n-2)]\)。

则\(r+s=1,-rs=1\)

\(n≥3\)时,有。

\(F(n)-rF(n-1)=s[F(n-1)-rF(n-2)]\)。

\(F(n-1)-rF(n-2)=s[F(n-2)-rF(n-3)]\)。

\(F(n-2)-rF(n-3)=s[F(n-3)-rF(n-4)]\)。

\(……\)

\(F⑶-rF⑵=s[F⑵-rF⑴]\)。

联立以上\(n-2\)个式子,得:

\(F(n)-rF(n-1)=[s^(n-2)][F⑵-rF⑴]\)。

∵\(s=1-r,F⑴=F⑵=1\)。

上式可化简得:

\(F(n)=s^(n-1)+rF(n-1)\)。

那么:

\(F(n)=s^(n-1)+rF(n-1)\)。

\(= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2F(n-2)\)。

\(= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2s^(n-3) + r^3F(n-3)\)。

\(……\)

\(= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2s^(n-3) +……+ r^(n-2)s + r^(n-1)F⑴\)。

\(= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2s^(n-3) +……+ r^(n-2)s + r^(n-1)\)。

(这是一个以\(s^(n-1)\)为首项、以\(r^(n-1)\)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和)。

\(=[s^(n-1)-r^(n-1)r/s]/(1-r/s)\)。

\(=(s^n - r^n)/(s-r)\)。

\(r+s=1, -rs=1\)的一解为\( s=(1+√5)/2,r=(1-√5)/2\)。

则\(F(n)=(√5/5){[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}\)。

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