摘要: j，…这个无穷数列之和会趋近于2，只要将前面几项加起来就容易猜到，但你不应该因而相信每个递减的无穷数列之和都是个有限大的数。例如，所谓调和级数，即1+ + + + + + …就趋近于无穷大；它的增加很缓慢，前面1亿7千8百万项的总和才达到20。用数学的专业术语...
j，…这个无穷数列之和会趋近于2，只要将前面几项加起来就容易猜到，但你不应该因而相信每个递减的无穷数列之和都是个有限大的数。例如，所谓调和级数，即1+ + + + + + …就趋近于无穷大；它的增加很缓慢，前面1亿7千8百万项的总和才达到20。用数学的专业术语来说，调和级数是发散级数，而总和为有限大的无穷数列则被称为收敛级数。
在启蒙时期，数列及其总和被认为是重要的研究领域。1644 年，意大利博洛尼亚19岁的学生门戈利提出一个问题： 平方数倒数数列的总和是否收敛？如果是的话，会趋近哪个数？
门戈利年复一年地累积了深厚的无穷数列研究经验。举例来说，他证明了调和级数是发散的，但交错调和级数（各项的加减符号依序交替）则收敛于0.6931。但门戈利没有解出平方倒数级数的问题，他猜测其总和会接近1.64，但不太确定。
几年后，瑞士巴塞尔的数学家雅各布•伯努利也追赶过这个神秘数列的潮流，这个因数学才能而闻名全欧的科学家同样没有找到答案。屡受挫折后，于1689年，他写了一张公告：“凡是有人发现任何蛛丝马迹，请好心告诉我们，我们必会感激不尽。”
进入18世纪后，欧洲的学者们被这个特别问题深深吸引，这个数列与环绕在周遭的神秘气氛，变成了沙龙里社会精英的热门话题，它很快就与当时已有50年历史的费马问题并驾其驱。几位数学家从中吸取了不少宝贵经验，包括苏格兰的斯特林、法国的棣莫弗、德国的莱布尼茨。到了1726年，这个问题回到了家乡巴塞尔。
雅各布的弟弟约翰凭着本身的条件成为了著名的数学家，他有一个异常聪明的学生一巴塞尔人欧拉，被认为是数学界一颗耀眼的新星。约翰为了鼓励欧拉，要他想办法解答这个问题。由于与巴塞尔数学家之间的密切关系，平方数的倒数问题从此被称为巴塞尔问题。
欧拉花了许多年研究这个问题，有时会暂时搁置几个月，然后又继续努力寻求解答。最后，1735年秋天，欧拉相信自己已经找到答案，那差不多是门戈利第一次想到这个数列的半世纪后了。欧拉声称，若计算到小数后第6位，总和应该是1.644934。
他是如何得到这个答案的？当然，他并没有把整个数列的各项总加起来。为了计算到小数第5位，欧拉必须考虑65000多项。显而易见，这位瑞士数学家在能够提出证明之前，就先猜出了总和的正确值：有一段时间，欧拉拒绝公布答案，因为他自己也对结果感到十分讶异一TT，圆周与直径的比值，到底跟这个总和有什么共性？
几星期后，随着《倒数数列总和》出版，欧拉为他的断言提出了证明。他在文中提到，他“无意中发现了一条简洁的公式，可以计算1+丄+丄+丄,，它与将圆转化为面积相等的正方形有关”。
约翰既惊讶，又松了口气。“我哥哥的热切愿望终于获得了满足。”他说道，“他向来认为，这一级数之和的研究比任何人想象的都要复杂，而且他曾公开承认自己的失败。”
欧拉是在研读三角函数时偶而发现这个公式的，因此答案的出现其实出乎意料。所谓的正弦函数的级数展开式与该平方倒数级数密切相关，又因为三角函数与圆有关，因此数字TT才会是答案的一部分。
欧拉的证明建立起了级数与积分学之间的关系，当时后者还是数学的新兴分支。今天大家都知道，巴塞尔级数代表一个更一般的函数（即5函数）的特例，该函数在现代数学中举足轻重。
