圆面积的历史

圆面积的历史

2017-01-03 作者: xuzhiping 浏览: 3702 次

摘要: 4000多年前建筑的埃及胡夫金字塔,底座是一个正方形,占地52900平方米。它的底座边长和视点核算十分准确,误差很小,可见其时测算大面积的技术水平现已很高。 圆是最主要的曲边形。古埃及人把它看成是神赐予人的神圣图形。如何求圆的面积,是数学对人类智慧的一次检测。...

4000多年前建筑的埃及胡夫金字塔,底座是一个正方形,占地52900平方米。它的底座边长和视点核算十分准确,误差很小,可见其时测算大面积的技术水平现已很高。

圆是最主要的曲边形。古埃及人把它看成是神赐予人的神圣图形。如何求圆的面积,是数学对人类智慧的一次检测。

或许你会想,既然正方形的面积那么简单求,咱们只需想办法做出一个正方形,使它的面积刚好等于圆面积就行了。是啊,这么确实极好,可是如何才能做出这么的正方形呢?

你知道古代三大几许难题吗?其间的一个,即是方才讲到的化圆为方。这个起源于古希腊的几许作图题,在2000多年里,不知难倒了多少能人,直到19世纪,大家才证明了这个几许题,是底子不行能用古代人的尺规作图法作出来的。

解法探求

古代数学家的贡献

中国古代的数学家祖冲之,从圆内接正六边形下手,让边数成倍添加,用圆内接正多边形的面积去迫临圆面积。

古希腊的数学家,从圆内接正多边形和外切正多边形同时下手,不断添加它们的边数,从里外两个方面去迫临圆面积。

古印度的数学家,选用类似切西瓜的办法,把圆切成许多小瓣,再把这些小瓣对接成一个长方形,用长方形的面积去代替圆面积。

许多的古代数学家煞费苦心,巧妙构思,为求圆面积作出了十分宝贵的贡献。为后人解决这个疑问拓荒了路途。

开普勒的求解办法

16世纪的德国地理学家开普勒,是一个爱观察、肯动脑筋的人。他把丹麦地理学家第谷遗留下来的许多地理观测材料,认真地进行收拾剖析,提出了闻名的“开普勒三规律”。开普勒首次通知大家,地球环绕太阳运转的轨迹是一个椭圆,太阳坐落其间的一个焦点上。

提出圆面积公式

开普勒当过数学老师,他对求面积的疑问十分感兴趣,曾进行过深化的研讨。他想,古代数学家用切割的办法去求圆面积,所得到的成果都是近似值。为了进步近似程度,他们不断地添加切割的次数。可是,不论切割多少次,几千几万次,只需是有限次,所求出来的总是圆面积的近似值。要想求出圆面积的准确值,有必要切割无量屡次,把圆分红无量多等分才行。

开普勒也仿照切西瓜的办法,把圆切割成许多小扇形;不一样的是,他一开始就把圆分红无量多个小扇形。

圆面积等于无量多个小扇形面积的和,所以在最终一个式子中,各段小弧相加即是圆的周长2πR,所以有这即是咱们所了解的圆面积公式。

开普勒运用无量切割法,求出了许多图形的面积。1615年,他将自个发明的这种求圆面积的新办法,宣布在《葡萄酒桶的立体几许》一书中。

开普勒斗胆地把圆切割成无量多个小扇形,并勇敢地断语:无量小的扇形面积,和它对应的无量小的三角形面积持平。他在前人求圆面积的基础上,向前迈出了主要的一步。

《葡萄酒桶的立体几许》一书,很快在欧洲撒播开了。数学家们高度评价开普勒的作业,称誉这本书是大家发明求圆面积和体积新办法的创意源泉。

新的理论

一种新的理论,在开始的时分很难完美无瑕。开普勒发明的求圆面积的新办法,引起了一些人的怀疑。他们问道:开普勒切割出来的无量多个小扇形,它的面积终究等于不等于零?假如等于零,半径OA和半径OB就必定重合,小扇形OAB就不存在了;假如客观存在的面积不等于零,小扇形OAB与小三角形OAB的面积就不会持平。开普勒把两者看作持平就不对了。

面临他人提出的疑问,开普勒自个也解说不清。

卡瓦利里的求解办法

他是意大利物理学家伽利略的学生,他研讨了开普勒求圆面积办法存在的疑问。

卡瓦利里想,开普勒把圆分红无量多个小扇形,这每个小扇形的面积究竟等不等于圆面积,就欠好断定了。可是,只需小扇形仍是图形,它是能够再分的呀。开普勒为何不再持续分下去了呢?要是真的再细分下去,那分到什么程度停止呢?这些疑问,使卡瓦利里陷入了沉思当中。

有一天,当卡瓦利里的目光落在自个的衣服上时,他遽然灵机一动:唉,布不是能够看变成面积嘛!布是由棉线织成的,要是把布拆开的话,拆到棉线就停止了。咱们要是把面积像布一样拆开,拆到哪儿停止呢?应当拆到直线停止。几许学规则直线没有宽度,把面积分到直线就应当不能再分了。所以,他把不能再细分的东西叫做“不行重量”。棉线是布的不行重量,直线是平面面积的不行重量。

卡瓦利里还进一步研讨了体积的切割疑问。他想,能够把长方体看变成一本书,组成书的每一页纸,应当是书的不行重量。这么,平面就应当是长方体体积的不行重量。几许学规则平面是没有薄厚的,这么也是有道理的。

新的求解办法1

卡瓦利里紧紧抓住自个的主意,反复琢磨,提出了求圆面积和体积的新办法。

1635年,当《葡萄酒桶的立体几许》一书面世20周年的时分,意大利出版了卡瓦利里的《不行重量几许学》。在这本书中,卡瓦利里把点、线、面,别离看成是直线、平面、立体的不行重量;把直线看成是点的总和,把平面看成是直线的总和,把立体看成是平面的总和。

卡瓦利里还依据不行重量的办法指出,两本书的外形尽管不一样,可是,只需页数一样,薄厚一样,而且每一页的面积也持平,那么,这两本书的体积就应当持平。他以为这个道理,适用于一切的立体,而且用这个道理求出了许多立体的体积。这即是有名的“卡瓦利里原理。” 事实上,最早提出这个原理的,是中国数学家祖暅。比卡瓦利里早1000多年,所以咱们叫它“祖暅原理”。

在一个圆里画一个最大的正方形,正方形占圆面积的约63.7%,在一个圆外画一个最小的正方形,正方形面积是圆形面积的157%。

新的求解办法2

在卡瓦利里的观念上拓宽,也能够将曲线看做不行重量。所以圆面积近似于无数个圆周长曲线的拼接。

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