四棱锥体积公式推导

四棱锥体积公式推导


发布日期: 2016-10-24 更新日期: 2017-01-03 编辑:xuzhiping 浏览次数: 9984

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摘要: 在四棱锥上做一个与四棱锥B1-ABCD同底等高的四棱柱A1B1C1D1-ABCD出来,沿底面的对角线BD与棱锥的顶角B1地点的面把四棱锥切开,把四棱锥的疑问转化成三棱锥的疑问。 这时候,两个三棱柱与两个三棱锥都分别是等底等高。他们的体积是分别相等的。若能证实三...

在四棱锥上做一个与四棱锥B1-ABCD同底等高的四棱柱A1B1C1D1-ABCD出来,沿底面的对角线BD与棱锥的顶角B1地点的面把四棱锥切开,把四棱锥的疑问转化成三棱锥的疑问。

这时候,两个三棱柱与两个三棱锥都分别是等底等高。他们的体积是分别相等的。若能证实三棱锥体积是1/3sh,即可证实四棱锥的体积计算公式1/3sh。

衔接A D1以后,发现三棱柱是由三个三棱锥构成,只需证实这三个三棱锥B1-ABD,A-A1B1D1,A-D1B1D体积持平就可以了。

B1-ABD与A-A1B1D1等底等高,所以体积持平。

B1-ABD换个视点看本来即是A-B1BD,A-B1BD与A-D1B1D等底等高,所以体积持平。所以B1-ABD与A-D1B1D体积持平。

也即是说构成三棱柱的这三个三棱锥体积持平,所以三棱锥体积是1/3sh

所以四棱锥的体积计算公式1/3sh。

四棱锥的底面面积S加极点A'面积0除以2的平均面积1/2S的一个四棱柱乘以高h,即是四棱锥体积:

V=1/3(S+0)h=1/3Sh

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