椭圆的理论公式及推导过程

椭圆的理论公式及推导过程

2017-01-03 作者: xuzhiping 浏览: 7071 次

摘要: 理论公式 简介 a为椭圆长半轴,e 为椭圆的离心率 椭圆周长理论公式是存在的不过它不能用初等函数表示,它是一个与离心率有关的无穷收敛级数,本公式已经把正圆周长纳入其中,在某种意义上讲正圆是特殊的椭圆,也就是说正圆是长短轴相等的...

理论公式

简介

a为椭圆长半轴,e 为椭圆的离心率

椭圆周长理论公式是存在的不过它不能用初等函数表示,它是一个与离心率有关的无穷收敛级数,本公式已经把正圆周长纳入其中,在某种意义上讲正圆是特殊的椭圆,也就是说正圆是长短轴相等的椭
公式推导是要利用到曲线长度积分,同时关键的一步是,要把椭圆积分利用牛顿二项式定理展开为以sinθ 为变量的级数再通过积分求解。如图。
推导过程
先建立椭圆参数方程:
x=a SINθ
Y=bcosθ
根据曲线长度积分方程:
u=y′

将椭圆方程代入上式得:

(1) L=4a

得出将(1)式用牛顿二项式定理展开再逐项积分得:

求解完毕(这个公式把a=b带进去以后为圆周长公式,e=1时,L=a)

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