摘要: 推导过程 万有引力定律是用开普勒第三定律导出的,因此不能再用万有引力定律来推导开普勒第三定律,循环论证是不严谨的。开普勒第三定律是开普勒根据第谷的观测数据来计算出来的,没有见过推导,推导过程只能是与万有引力定律的联系,不能叫推导。 观察数据 下图是开普勒经过艰...
推导过程
万有引力定律是用开普勒第三定律导出的,因此不能再用万有引力定律来推导开普勒第三定律,循环论证是不严谨的。开普勒第三定律是开普勒根据第谷的观测数据来计算出来的,没有见过推导,推导过程只能是与万有引力定律的联系,不能叫推导。
观察数据
下图是开普勒经过艰苦计算所发现第三定律时的原始数据表:
轨道周期与太阳到行星的平均距离
行星 | 周期(天数) | 平均距离(百万英里) |
水星 | 88.0 | 36 |
金星 | 224.7 | 67.25 |
地球 | 365.3 | 93 |
火星 | 687.0 | 141.75 |
木星 | 4331.8 | 483.80 |
土星 | 10760.0 | 887.97 |
天王星 | 30684.0 | 1764.50 |
海王星 | 60188.3 | 2791.05 |
冥王星 | 90466.8 | 3653.90 |
开普勒整理数据发现,右图下方的坐标中各点大致连成一条直线,因此他认为行星的运行周期\(T\)和\(R^(2/3)\)成正比(其中\(R\)为轨道半径),并计算出该直线的斜率为\(2π/√GM\),即\(T=2πR^(2/3)/√GM\)
常规方法
方法一:
现实中的星体运动的轨道大多数是椭圆,于是便有以下推导:
利用微元,矢径R在很小的Δt时间内,扫过面积为ΔS,矢径R与椭圆该点的切线方向夹角为α,椭圆的弧长为ΔR。在Δt→0时,扫过面积可以看作为三角形,
\(ΔS=1/2RΔRsinα\)
面积速度为\(ΔS/Δt=(1/2RΔRsinα)/Δt=1/2Rvsinα\)
设各行星绕太阳运行周期为T,椭圆半长轴为a、半短轴为b、太阳到椭圆中心的距离为c
则行星绕太阳运动的周期\(T=πab/(1/2Rvsinα)\)
选近日点A和远日点B来研究,由ΔS相等可得\(1/2vARA=1/2vBRB\)
从近日点运动到远日点的过程中,根据机械能守恒定律得:\(1/2mvA^2-GMm/RA=1/2mvB^2-GMm/RB\)
\(vA^2=2GMRB/(RA+RB)RA\)
由几何关系得:\(RA=a-c,RB=a+c,a^2=b^2+c^2\)
所以\(vA^2\)=
整理得\(T^2/a^2=4π^2/GM\)