胡克定律的数学推导

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胡克定律的数学推导

2017-01-03 作者: xuzhiping 浏览: 4005 次

摘要: 胡克定律的内容为:在材料的线弹性范围内(见上图的材料应力应变曲线的比例极限范围内),固体的单向拉伸变形与所受的外力成正比;也可表述为:在应力低于比例极限的情况下,固体中的应力σ与应变ε成正比,即σ=Εε,式中E为常数,称为弹性模量或杨氏模量。把胡克定律推广应用...

胡克定律的内容为:在材料的线弹性范围内(见上图的材料应力应变曲线的比例极限范围内),固体的单向拉伸变形与所受的外力成正比;也可表述为:在应力低于比例极限的情况下,固体中的应力σ与应变ε成正比,即σ=Εε,式中E为常数,称为弹性模量或杨氏模量。把胡克定律推广应用于三向应力和应变状态,则可得到广义胡克定律。胡克定律为弹性力学的发展奠定了基础。各向同性材料的广义胡克定律有两种常用的数学形式:

\(σ11=λ(ε11+ε22+ε33)+2Gε11,σ23=2Gε23\)

\(σ22=λ(ε11+ε22+ε33)+2Gε22,σ31=2Gε31\) (1)

\(σ33=λ(ε11+ε22+ε33)+2Gε33,σ12=2Gε12\)

式中σij为应力分量;εij为应变分量(i,j=1,2,3);λ和G为拉梅常量,G又称剪切模量。这些关系也可写为:

\(ε11=\frac {1}{E}[σ11-v(σ22+σ33)],ε23=\frac {1}{2G}σ23\) (2)

E为弹性模量(或杨氏模量);v为泊松比。λ、G、E和v之间存在下列联系:

\(G=\frac {E}{2(1+v)},λ=\frac {Ev}{(1+v)(1-2v)}\)

式(1)适用于已知应变求应力的问题,式(2)适用于已知应力求应变的问题。

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