椭圆的面积和周长计算

椭圆的面积和周长计算

2017-01-03 作者: xuzhiping 浏览: 3739 次

摘要: 一、椭圆周长、面积计算公式  根据椭圆第一定义,用a表示椭圆长半轴的长,b表示椭圆短半轴的长,且a>b>0。 椭圆周长公式:L=2πb+4(a-b)  椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(...

一、椭圆周长、面积计算公式 

根据椭圆第一定义,用a表示椭圆长半轴的长,b表示椭圆短半轴的长,且a>b>0。 椭圆周长公式:L=2πb+4(a-b) 

椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。

椭圆面积公式: S=πab 

椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。  

二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程 

(一)发现椭圆常数 

常数在于探索和发现。

椭圆三要素:焦距的一半(c),长半轴的长(a)和短半轴的长(b)。椭圆三要素确定任意两项就确定椭圆。椭圆三要素其中两项的某种数学关系决定椭圆周长和面积。

椭圆的周长取值范围:4a<L<2πa      (1) 椭圆周长猜想:L=(2πa-4a)T      (2)  T是猜想的椭圆周率。将(1)等式与(2)等式合并,得: 4a<(2πa-4a)T<2πa      (3)  根据不等式基本性质,将不等式(3)同除(2πa-4a),有: 4a/(2πa-4a) <T<2πa /(2πa-4a)      (4) 简化表达式(4): 2/(π-2)<T<π/(π-2)   定义:K1=2/(π-2);K2=π/(π-2)   计算K1、K2的值会发现K1、K2是两个非常奇特的数:

K1=1.75193839388411……      

K2=2.75193839388411…… 

椭圆第二常数:K2=K1+1 

椭圆常数的发现过程描述简单,得来却要复杂得多。  

(二)椭圆周长公式推导 

长期以来我们只用椭圆离心率e=c/a来描述椭圆,却忽视了椭圆a与b的关系。定义:椭圆向心率为f,f=b/a 。根据椭圆第一定义,椭圆向心率f,有0<f<1的范围。 

K1+f<K2的数学关系正是椭圆周长计算时存在的数学关系。 定义:T=K1+f,将此等式代入等式(2)则有: L=(2πa-4a)T=2(π-2)a(K1+f)   =2(π-2)a(2/(π-2)+b/a)=2πb+4(a-b)  

椭圆周长计算公式: L=2πb+4(a-b)   

(三)椭圆面积公式推导 

椭圆面积的取值范围:0<S<πa2      (5)  (由于网上发文的遗憾,公式和符号略有缺陷,相信您能够看懂。如:上式中πa2为π乘a的二次方。) 椭圆面积猜想:S=πa2T   (6)  T是猜想的椭圆面积率。将(5)等式与(6)等式合并,得: 0<πa2T<πa2      (7)  根据不等式基本性质,将不等式(7)同除πa2,则有:0<T<1。可得: S=πa2T=πa2(K+f)      (8)  在等式(8)中K=0,f=b/a,代入等式中: S=πa2b/a=πab 

椭圆面积计算公式:S=πab

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