椭圆的概念

椭圆的概念

2017-01-03 作者: xuzhiping 浏览: 5827 次

摘要: 椭圆定义 椭圆是圆锥曲线的一种,即圆锥与平面的截线。椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色,即恒星是椭圆两焦点中的一个,是数学科重点研究的一个项目。 第一定义 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a>|F1F2|)的的动点P的轨迹叫做椭圆。...

椭圆定义

椭圆是圆锥曲线的一种,即圆锥与平面的截线。椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色,即恒星是椭圆两焦点中的一个,是数学科重点研究的一个项目。

第一定义

平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a>|F1F2|)的的动点P的轨迹叫做椭圆。

即:|PF1|+|PF2|=2a

其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点,两焦点的距离|F1F2|=2c<2a 叫做椭圆的焦距。P为椭圆的动点。

椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴,长为2a

椭圆截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴,长为2b

\(c^2=a^2-b^2\)可变为\(c=√[a^2-b^2]\)

第二定义

\(X= \frac {a^2}{c} \)平面内到定点F(c,0)的距离和定直线l:\(X= \frac {a^2}{c} \)(F不在l上)的距离之比为常数\( \frac {c}{a} \)(即离心率,0<e<1)的点的轨迹是椭圆。(即准线)

其中定点F为椭圆的焦点,定直线l称为椭圆的准线(该定直线的方程是\(x=± \frac {a^2}{c} \)(焦点在x轴上),或\(y=± \frac {a^2}{c} \)(焦点在y轴上))。

其他定义

根据椭圆的一条重要性质:椭圆上的点与椭圆长轴两端点连线的斜率之积是定值,定值为\(e^2-1\),可以得出:

在坐标轴内,动点(x,y)到两定点(a,0)(-a,0)的斜率乘积等于常数m(-1<m<0)

注意:考虑到斜率为零时不满足乘积为常数,所以 无法取到,即该定义仅为去掉两个点的椭圆。

椭圆也可看做圆按一定方向作压缩或拉伸一定比例所得图形。

椭圆的标准方程

椭圆的标准方程公分两种情况:

当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是:\(x^2/a^2+y^2/b^2=1\),(a>b>0);

当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是:\(y^2/a^2+x^2/b^2=1\),(a>b>0);

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