线性方程组的平方根解法

线性方程组的平方根解法


发布日期: 2016-10-24 更新日期: 2017-01-12 编辑:xuzhiping 浏览次数: 6715

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摘要: 在求解线性方程组时,直接解法有顺序高斯消元法、列主元高斯消元法、全主元高斯消元法、高斯约当消元法、消元形式的追赶法、LU分解法、矩阵形式的追赶法,当我们遇到对称正定线性方程组时,我们就要用到平方根法(对称LLT分解法)来求解,为了熟悉和熟练运用平方根法求解线性...

在求解线性方程组时,直接解法有顺序高斯消元法、列主元高斯消元法、全主元高斯消元法、高斯约当消元法、消元形式的追赶法、LU分解法、矩阵形式的追赶法,当我们遇到对称正定线性方程组时,我们就要用到平方根法(对称LLT分解法)来求解,为了熟悉和熟练运用平方根法求解线性方程组,下面对运用平方根法求解线性方程组进行解析。 

一、运用平方根法求解线性方程组涉及到的定理及定义  我们在运用平方根法求解线性方程组时,要判定线性方程组Ax=b的系数矩阵A是否是对称正定矩阵,那么我们就要了解正定矩阵的性质和如下定理及定义: 

1、由线性代数知,正定矩阵具有如下性质: 

1) 正定矩阵A是非奇异的 

2) 正定矩阵A的任一主子矩阵也必为正定矩阵 

3) 正定矩阵A的主对角元素均为正数 

4) 正定矩阵 A的特征值均大于零

5) 正定矩阵A的行列式必为正数  定义一 线性方程组Ax=b的系数矩阵A是对称正定矩阵,那么Ax=b是对称正定线性方程组。    定义二 如果方阵A满足A=AT,那么A是对称阵。

2平方根法和改进的平方根法  如果A是n阶对称矩阵,由定理2还可得如下分解定理: 

定理2 若A为n阶对称矩阵,且A的各阶顺序主子式都不为零,则A可惟一分解为:A=LDLT,其中L为单位下三角阵,D为对角阵。 

定理3 对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式大于零。 

2  对称正定矩阵的三角分解 

定理  (Cholesky分解)设A为n阶对称正定矩阵,则存在惟一的主对角线元素都是正数的下三角阵L,使得:A=LLT。  分解式A=LLT称为正定矩阵的Cholesky分解,利用Cholesky分解来求解系数矩阵为对称正定矩阵的方程组AX=b的方法称为平方根法。

二、平方根法的算法流程图

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