scipy.optimize.newton¶

scipy.optimize.newton(func, x0, fprime=None, args=(), tol=1.48e-08, maxiter=50, fprime2=None, x1=None, rtol=0.0, full_output=False, disp=True)[源代码]¶

使用牛顿-拉夫森(或割线或哈雷法)求实函数或复函数的零点。

求标量值函数的零点 func 给定附近的标量起点 x0 。使用牛顿-拉夫森方法，如果导数 fprime 的 func 则提供，否则使用正割方法。如果二阶导数 fprime2 的 func 在此基础上，采用哈雷法。

If x0 is a sequence with more than one item, newton returns an array: the zeros of the function from each (scalar) starting point in x0. In this case, func must be vectorized to return a sequence or array of the same shape as its first argument. If fprime (fprime2) is given, then its return must also have the same shape: each element is the first (second) derivative of func with respect to its only variable evaluated at each element of its first argument.

newton 用于求单变量标值函数的根。有关涉及多个变量的问题，请参见 root 。

参数

func可调用: 需要零的函数。它必须是形式的单个变量的函数 f(x,a,b,c...), where a,b,c... 是额外的参数，可以在 args 参数。
x0浮点、序列或ndarray: 对应该在实际零附近的零的初步估计。如果不是标量，则 func 必须矢量化，并返回与其第一个参数形状相同的序列或数组。
fprime可调用，可选: 函数的导数(如果可用且方便)。如果为None(默认值)，则使用正割方法。
args元组，可选: 要在函数调用中使用的额外参数。
tol浮动，可选: 零值的允许误差。如果 func 是复值的，一个更大的 tol 的实部和虚部都被推荐为 x 贡献给 |x - x0| 。
maxiter整型，可选: 最大迭代次数。
fprime2可调用，可选: 函数的二阶导数(当可用且方便时)。如果为None(默认)，则使用法线牛顿-拉夫森或割线方法。如果不是NONE，则使用哈雷方法。
x1浮动，可选: 对零的另一个估计应该在接近实际零的某个地方。在以下情况下使用 fprime 不提供。
rtol浮动，可选: 终止的容差(相对)。
full_output布尔值，可选: 如果 full_output 为false(默认值)，则返回根。如果为True且 x0 为标量，则返回值为 (x, r) ，在哪里 x 是根，并且 r 是一种 RootResults 对象。如果为True且 x0 为非标量，则返回值为 (x, converged, zero_der) (有关详细信息，请参阅退货部分)。
disp布尔值，可选: 如果为True，则在算法不收敛时引发RuntimeError，并显示包含迭代次数和当前函数值的错误消息。否则，收敛状态将记录在 RootResults 返回对象。如果出现以下情况，则忽略 x0 不是标量。 Note: this has little to do with displaying, however, the `disp` keyword cannot be renamed for backwards compatibility.

退货

root浮点、序列或ndarray: 函数为零的估计位置。
r ： RootResults ，可选RootResults，可选: 在以下情况下出席 full_output=True 和 x0 是标量的。对象，该对象包含有关收敛的信息。具体地说， r.converged 如果例程收敛，则为True。
convergedndarray of bool，可选: 在以下情况下出席 full_output=True 和 x0 是非标量的。对于向量函数，指示哪些元素成功收敛。
zero_derndarray of bool，可选: 在以下情况下出席 full_output=True 和 x0 是非标量的。对于向量函数，指示哪些元素具有零导数。

参见

root_scalar: 标量函数的根求解器接口
root: 用于多输入、多输出函数的根求解器接口

注意事项

牛顿-拉夫森方法的收敛速度是二次的，哈雷法是三次的，割线法是次二次的。这意味着如果函数表现良好，第n次迭代后估计的零中的实际误差大约是第(n-1)步之后误差的平方(哈雷为立方体)。但是，这里使用的停止标准是步长，并且不能保证找到零。因此，结果应该得到验证。较安全的算法有Brentq、Brense、Ridder和二等分，但它们都要求首先将根括在函数更改符号的区间内。当找到这样的区间时，推荐在一维问题中普遍使用Brentq算法。

什么时候 newton 与数组一起使用时，它最适合以下类型的问题：

最初的猜测是， x0 ，与根部的距离都是相对相同的。
一些或全部额外的论据， args ，也是数组，这样一类类似的问题就可以一起解决。
最初猜测的大小， x0 ，大于O(100)元素。否则，朴素循环的性能可能与向量一样好，甚至更好。

示例

>>> from scipy import optimize
>>> import matplotlib.pyplot as plt

>>> def f(x):
...     return (x**3 - 1)  # only one real root at x = 1

fprime 未提供，请使用Sucant方法：

>>> root = optimize.newton(f, 1.5)
>>> root
1.0000000000000016
>>> root = optimize.newton(f, 1.5, fprime2=lambda x: 6 * x)
>>> root
1.0000000000000016

仅限 fprime ，则使用牛顿-拉夫森方法：

>>> root = optimize.newton(f, 1.5, fprime=lambda x: 3 * x**2)
>>> root
1.0

两者都有 fprime2 和 fprime ，请使用哈雷的方法：

>>> root = optimize.newton(f, 1.5, fprime=lambda x: 3 * x**2,
...                        fprime2=lambda x: 6 * x)
>>> root
1.0

当我们想要为一组相关的起始值和/或函数参数查找零时，我们可以将它们作为输入数组提供：

>>> f = lambda x, a: x**3 - a
>>> fder = lambda x, a: 3 * x**2
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> x = rng.standard_normal(100)
>>> a = np.arange(-50, 50)
>>> vec_res = optimize.newton(f, x, fprime=fder, args=(a, ), maxiter=200)

上面的内容等同于为中的每个值求解 (x, a) 在for循环中单独运行，速度更快：

>>> loop_res = [optimize.newton(f, x0, fprime=fder, args=(a0,))
...             for x0, a0 in zip(x, a)]
>>> np.allclose(vec_res, loop_res)
True

绘制找到的所有值的结果 a ：

>>> analytical_result = np.sign(a) * np.abs(a)**(1/3)
>>> fig = plt.figure()
>>> ax = fig.add_subplot(111)
>>> ax.plot(a, analytical_result, 'o')
>>> ax.plot(a, vec_res, '.')
>>> ax.set_xlabel('$a$')
>>> ax.set_ylabel('$x$ where $f(x, a)=0$')
>>> plt.show()

../../_images/scipy-optimize-newton-1.png

scipy.optimize.bisect

scipy.optimize.toms748