拟蒙特卡罗子模 (scipy.stats.qmc )¶
此模块提供准蒙特卡罗生成器和相关的帮助器函数。
拟蒙特卡罗¶
引擎¶
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用于子类化的泛型准蒙特卡罗采样器类。 |
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用于生成(加扰的)Sobol‘序列的引擎。 |
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Halton序列。 |
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拉丁超立方体抽样(LHS)。 |
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多项分布的QMC抽样。 |
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多元正态分布的QMC抽样 \(N(\mu, \Sigma)\) 。 |
帮助者¶
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给定样本的差异。 |
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用新样本更新居中差异。 |
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从单位超立方体到不同边界的采样缩放。 |
准蒙特卡罗概论¶
拟蒙特卡罗(QMC)方法 [1], [2], [3] 提供一个 \(n \times d\) 中的数字数组 \([0,1]\) 。它们可以用来代替 \(n\) 来自 \(U[0,1]^{{d}}\) 分配。与随机点相比，QMC点被设计成具有更少的间隙和团块。这是用差异度量来量化的。 [4]. 从Koksma-Hlawka不等式出发 [5] 我们知道，较低的偏差降低了积分误差的界限。对函数求平均 \(f\) 完毕 \(n\) QMC点可以实现接近于 \(O(n^{{-1}})\) 对于行为良好的函数 [2].
大多数QMC结构都是为 \(n\) 例如2的幂或大素数。即使改变一个样本大小也会降低它们的性能，甚至会降低它们的收敛速度 [6]. 例如 \(n=100\) 点可能提供的精确度低于 \(n=64\) 如果该方法是为 \(n=2^m\) 。
某些QMC结构在中是可扩展的 \(n\) ：我们可以再找一个特殊的样本量 \(n' > n\) 并且通常是增加特殊样本大小的无限序列。某些QMC结构在中是可扩展的 \(d\) ：我们可以增加维数，可能增加到某个上限，通常不需要特殊的值 \(d\) 。有些QMC方法在两者中都是可扩展的 \(n\) 和 \(d\) 。
QMC点是确定性的。这使得很难估计通过QMC点上的平均值估计的积分的精度。随机QMC(RQMC) [7] 点被构建为每个点都是单独的 \(U[0,1]^{{d}}\) 虽然集体来说 \(n\) 点数仍保持较低的差异。一个人可以做 \(R\) RQMC的独立复制可以查看计算的稳定性。从… \(R\) 独立值、t检验(或引导t检验 [8]) 然后给出平均值的近似置信区间。一些RQMC方法产生的均方根误差实际上是 \(o(1/n)\) 并且小于未随机化的QMC中看到的速率。一个直观的解释是，误差是许多小误差的总和，随机误差以确定性误差不能抵消的方式抵消。RQMC对于奇异或由于其他原因不是Riemann可积的被积数也有优势。
(R)QMC无法击败巴赫克瓦洛夫的维度诅咒(见 [9]) 。对于任何随机或确定的方法，都有最坏的情况函数会使其在高维中表现不佳。QMC的最坏情况函数可能在所有n个点都是0，但在其他地方非常大。最坏的情况分析在高维度上变得非常悲观。(R)当使用QMC的功能不是最坏的情况时，QMC可以带来比MC更大的改进。例如，(R)QMC可以特别有效地处理被积数，这些被积数一次由其输入变量的一些小数目的函数的和很好地逼近 [10], [11]. 关于这些函数，该属性通常是一个令人惊讶的发现。
此外，为了看到对IIDMC的改进，(R)QMC需要被积函数的一点光滑性，大致是每个方向上的混合一阶导数， \(\partial^d f/\partial x_1 \cdots \partial x_d\) ，必须是整数。例如，一个函数在超球面内为1，在超球面外为0，在Hardy和Krause意义下对任何维度都有无限的变化 \(d = 2\) 。
置乱网是RQMC的一种，具有很好的鲁棒性 [12]. 如果被积函数是平方可积的，则它们给出方差 \(var_{{SNET}} = o(1/n)\) 。在…上有一个有限的上界 \(var_{{SNET}} / var_{{MC}}\) 这对每个平方可积被积函数都是同时成立的。乱网满足强大的大数定律 \(f\) 在……里面 \(L^p\) 什么时候 \(p>1\) 。在某些特殊情况下，存在中心极限定理 [13]. 对于足够光滑的积分，它们几乎可以达到RMSE \(O(n^{{-3}})\) 。看见 [12] 有关这些属性的参考信息。
QMC方法的主要种类是格子规则 [14] 以及数字网络和序列 [2], [15]. 这些理论在多项式格规则中相遇。 [16] 它可以产生数字网络。格子规则需要某种形式的搜索才能找到好的结构。对于数字网络，有广泛使用的默认结构。
最广泛使用的QMC方法是Sobol序列 [17]. 这些是数字网络。它们在两者中都是可扩展的 \(n\) 和 \(d\) 。它们可以被搅乱。特殊的样本容量是2的幂。另一种流行的方法是Halton序列 [18]. 其结构类似于数字网络。较早的维度比较晚的维度具有更好的均匀分布特性。基本上没有特殊的样本量。它们被认为不像Sobol的序列那样准确。它们可以被搅乱。福雷之网 [19] 也被广泛使用。所有维度都是一样好的，但特殊样本量随着维度的增加而迅速增长 \(d\) 。它们可以被搅乱。Niederreiter和Xing的网 [20] 具有最好的渐近性质，但没有表现出良好的经验表现 [21].
高阶数字网络是通过在构造点的数字中进行数字交织处理而形成的。在给定更高的光滑性条件下，它们可以达到更高水平的渐近精度。 \(f\) 它们可以被加扰 [22]. 很少或根本没有实证研究表明可以达到的改善率。
使用QMC就像使用一个小型随机数生成器的整个周期。结构相似，因此计算成本也是相似的 [23].
(R)QMC有时通过在使用点之前通过面包师的变换(帐篷函数)来改进。该函数的形式为 \(1-2|x-1/2|\) 。作为 \(x\) 从0到1，此函数从0到1，然后返回。产生格规则的周期函数是非常有用的 [14], 有时它提高了收敛速度 [24].
将QMC方法应用到马尔可夫链蒙特卡罗(MCMC)中并不是一帆风顺的。我们可以把MCMC看作是在使用 \(n=1\) 点进 \([0,1]^{{d}}\) 对于非常大的 \(d\) ，遍历结果对应于 \(d \to \infty\) 。有一份提案已经收到 [25] 在较强的条件下，收敛速度得到了改善。 [26].
回到苏博尔的观点：根据所谓的方向号码，有很多版本。这些都是搜索的结果，并列在表格中。一组使用非常广泛的方向数来自于 [27]. 它在维度上可以扩展到 \(d=21201\) 。
参考文献¶
- 1
欧文，艺术B。“蒙特卡洛书：准蒙特卡罗部分”(2019年)。
- 2(1,2,3)
尼德莱特，哈拉尔德。随机数生成和准蒙特卡罗方法。工业与应用数学学会，1992年。
- 3
题名/责任者：A.“高维积分：准蒙特卡罗方法。”“数字学报”22(2013)：133。
- 4
首页--期刊主要分类--期刊细介绍--期刊题录与文摘--期刊详细文摘内容“陈文华等编，”差异理论全景“(2014)：679。斯林格国际出版社，瑞士。
- 5
作者：Peter J.“Koksma-Hlawka不平等。”Wiley StatsRef：在线统计参考(2014)。
- 6
欧文，艺术B。“在丢掉第一个Sobol‘点的时候。”arxiv预印本arxiv：2008.08051(2020年)。
- 7
厄瓜多尔，皮埃尔和克里斯蒂安·莱米厄。“随机准蒙特卡罗方法的最新进展。”“不确定性建模”，第419-474页。斯普林格，纽约，纽约州，2002年。
- 8
书名/作者Deciccio，Thomas J.和布拉德利·埃夫隆(Bradley Efron)。“引导置信区间。”统计科学(1996)：189-212。
- 9
迪莫夫，伊万·T·蒙特卡罗应用科学家的方法。“世界科学报”，2008。
- 10
题名/责任者：The Caflisch，Russel E.，William J.Morokoff，和Art B.Owen。用布朗桥降低有效维数对抵押贷款支持证券进行估值。计算金融学报，(1997)：第1期，第27-46期。
- 11
题名/责任者：Required of the world：/by C.C.(书名/作者The Sloan，Ian H.)；“什么时候准蒙特卡罗算法对高维积分是有效的？”“复杂性杂志”第14期第1期(1998)：1-33。
- 12(1,2)
欧文、阿特·B和丹尼尔·鲁道夫：“扰乱网络整合的强大数定律”。暹罗评论，即将登场。
- 13
呵呵，维廉。“关于加扰网积的渐近分布”“统计年鉴”第31卷第4期(2003)：1282-1324。
- 14(1,2)
斯隆，伊恩·H和S·乔。多重积分的格子方法。牛津大学出版社，1994年。
- 15
迪克，约瑟夫和弗里德里希·皮里奇沙默。数字网络和序列：偏差理论和准蒙特卡罗积分。剑桥大学出版社，2010年。
- 16
题名/责任者：Realthology of the world/by C.Dick，Josef，F.Kuo，Friedrich Pillichshammer，and I.Sloan。“多元积分多项式格规则的构造算法”“计算数学”74，第252期(2005)：1895-1921。
- 17
索博尔，伊利亚·米罗维奇。“关于立方体中点的分布和积分的近似计算。”“Zhural Vychislitel‘noi Matematiki I Matematicheskoi Fiziki”7，第4期(1967)：784-802。
- 18
作者：John H.“关于某些准随机点序列在计算多维积分时的效率。”“数理2”，第1期(1960)：84-90。
- 19
福雷，亨利。“Discrepance de Suites关联一个非系统编号(En Dimension S)。”“算术学报”41，第4期(1982)：337-351。
- 20
尼德莱特、哈罗德和邢朝平。“低偏差序列和具有多个有理位的全局函数域。”有限域及其应用2，第3期(1996)：241-273。
- 21
题名/责任者：Reach，by J.“算法823：实现加扰数字序列。”ACM数学软件学报(TOMS)29，第2期(2003)：95-109。
- 22
迪克，这是约瑟夫。“高阶加扰数字网络实现了平滑被积的均方根误差率的最佳值。”“统计年鉴”第39卷第3期(2011)：1372-1398。
- 23
尼德莱特，哈拉尔德。“使用伪随机数的多维数值积分。”“随机编程”84，第一部分，第17-38页。斯普林格，柏林，海德堡，1986。
- 24
作者：Peter J.“获得点阵求积规则的O(N-2+e)收敛性”“蒙特卡罗和准蒙特卡罗方法2000”，第274-289页。施普林格，柏林，海德堡，2002年。
- 25
题名/责任者：The Owen，Art B.和Seth D.Tribble。“一种准蒙特卡罗大都会算法。”“美国国家科学院学报”第102期，第25期(2005)：8844-8849。
- 26
陈，苏。“马尔可夫链拟蒙特卡罗的相合性和收敛速度，并举例说明”斯坦福大学博士学位，2011年。
- 27
乔、斯蒂芬和弗朗西斯·Y·郭。“构造具有更好二维投影的Sobol序列。”暹罗科学计算学报30，第5期(2008)：2635-2654。