非线性求解器¶
这是一个通用非线性多维解算器的集合。这些求解者发现 x 为此， F(x) = 0 。两者都有 x 和 F 可以是多维的。
例行公事¶
大型非线性解算器：
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求函数的根，对逆雅可比矩阵使用Krylov近似。 |
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使用(扩展的)安德森混合求函数的根。 |
一般非线性解算器：
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使用Broyden的第一雅可比近似求函数的根。 |
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使用Broyden的二次雅可比近似求函数的根。 |
简单迭代：
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使用调谐的对角雅可比近似求函数的根。 |
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使用标量雅可比近似求函数的根。 |
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使用对角Broyden Jacobian近似求函数的根。 |
示例¶
小问题
>>> def F(x):
... return np.cos(x) + x[::-1] - [1, 2, 3, 4]
>>> import scipy.optimize
>>> x = scipy.optimize.broyden1(F, [1,1,1,1], f_tol=1e-14)
>>> x
array([ 4.04674914, 3.91158389, 2.71791677, 1.61756251])
>>> np.cos(x) + x[::-1]
array([ 1., 2., 3., 4.])
大问题
假设我们需要在正方形上解下面的积分微分方程 \([0,1]\times[0,1]\) ：
\[\nabla^2 P=10\Left(\int_0^1\int_0^1\cosh(P)\，dx\，dy\right)^2\]
使用 \(P(x,1) = 1\) 和 \(P=0\) 在广场边界的其他地方。
解决方案可以使用 newton_krylov 解算器：
import numpy as np
from scipy.optimize import newton_krylov
from numpy import cosh, zeros_like, mgrid, zeros
# parameters
nx, ny = 75, 75
hx, hy = 1./(nx-1), 1./(ny-1)
P_left, P_right = 0, 0
P_top, P_bottom = 1, 0
def residual(P):
d2x = zeros_like(P)
d2y = zeros_like(P)
d2x[1:-1] = (P[2:] - 2*P[1:-1] + P[:-2]) / hx/hx
d2x[0] = (P[1] - 2*P[0] + P_left)/hx/hx
d2x[-1] = (P_right - 2*P[-1] + P[-2])/hx/hx
d2y[:,1:-1] = (P[:,2:] - 2*P[:,1:-1] + P[:,:-2])/hy/hy
d2y[:,0] = (P[:,1] - 2*P[:,0] + P_bottom)/hy/hy
d2y[:,-1] = (P_top - 2*P[:,-1] + P[:,-2])/hy/hy
return d2x + d2y - 10*cosh(P).mean()**2
# solve
guess = zeros((nx, ny), float)
sol = newton_krylov(residual, guess, method='lgmres', verbose=1)
print('Residual: %g' % abs(residual(sol)).max())
# visualize
import matplotlib.pyplot as plt
x, y = mgrid[0:1:(nx*1j), 0:1:(ny*1j)]
plt.pcolormesh(x, y, sol, shading='gouraud')
plt.colorbar()
plt.show()
