直角三角形的判断方法

直角三角形的判断方法

2017-01-03 作者: xuzhiping 浏览: 4971 次

摘要: 断定1:有一个角为90°的三角形是直角三角形。 断定2:若\(a^2+b^2=c^2\),则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形(勾股定理的逆定理)。 断定3:若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形...

断定1:有一个角为90°的三角形是直角三角形。

断定2:若\(a^2+b^2=c^2\),则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形(勾股定理的逆定理)。

断定3:若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

断定4:两个锐角互为余角(两角相加等于90°)的三角形是直角三角形。

断定5:若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数,则两直线相互垂直。那么这个三角形为直角三角形。

断定6:若在一个三角形中一边上的中线等于其地点边的一半,那么这个三角形为直角三角形。参考直角三角形斜边中线定理

断定7:一个三角形30°角所对的边等于某一邻边的一半,则这个三角形为直角三角形。

断定3和7的证实: 已知△ABC中,∠A=30°,∠A,∠C对的边分别为a,c,且\(a= \frac {1}{2} c\)。求证∠C=90°

证法1:

正弦定理,在△ABC中,有a:sinA=c:sinC

将a与c的联系及∠A的度数代入以后化简得sinC=1

又∵0<∠C<180°

∴∠C=90°

证法2

反证法,假定∠ACB≠90°,过B作BD⊥AC于D

在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠A=30°

∴\(BD= \frac {1}{2}AB\)(30°的直角边等于斜边的一半)

又∵\(BC= \frac {1}{2}AB\)

∴BC=BD

但BD是B到直线AC的垂线段,依据垂线段最短可知BD

(或从BC=BD得∠BCD=∠BDC=90°,那么△BCD中就有两个直角,这是不可能的工作 )

∴假定不成立,∠ACB=90°

证法3

利用三角形的外接圆证实

作△ABC的外接圆,设圆心为O,衔接OC,OB

∵∠BAC=30°,A在圆上

∴∠BOC=60°

∵OB=OC=半径r

∴△BOC是等边三角形,BC=OC=r

又∵AB=2BC=2r

∴AB是直径

∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)

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