Yule-Simon分布¶
一个带参数的Yule-Simon随机变量 \(\alpha>0\) 可以表示为指数随机变量的混合。要查看此记录，请执行以下操作 \(W\) 作为带利率的指数随机变量 \(\rho\) 和一个几何随机变量 \(K\) 有概率地 \(1-exp(-W)\) 然后 \(K\) 边际分布为Yule-Simon分布。上述潜变量表示用于随机变量生成。
\BEGIN{eqnarray*}
p\Left(k；\Alpha\Right)&=&\Alpha\frac{\Gamma\Left(k\Right)\Gamma\Left(\Alpha+1\Right)}{\Gamma\Left(k+\Alpha+1\Right)}\\
F\Left(k；\Alpha\Right)&=&1-\frac{k\Gamma\Left(k\Right)\Gamma\Left(\Alpha+1\Right)}{\Gamma\Left(k+\Alpha+1\Right)}
\end{eqnarray*}
为 \(k = 1,2,...\) 。
现在
\BEGIN{eqnarray*}\mu&=&\frac{\alpha}{\alpha-1}\\
\MU_{2}&=&\frac{\alpha^2}{\Left(\Alpha-1\Right)^2\Left(\Alpha-2\Right)}\\
\Gamma_{1}&=&\frac{\sqrt{\Left(\Alpha-2\Right)}\Left(\Alpha+1\Right)^2}{\Alpha\Left(\Alpha-3\Right)}\\
\Gamma_{2}&=&\frac{\Left(\Alpha+3\Right)+\Left(\Alpha^3-49\Alpha-22\Right)}{\Alpha\Left(\Alpha-4\Right)\Left(\Alpha-3\Right)}
\end{eqnarray*}
为 \(\alpha>1\) 否则均值是无穷的，方差是不存在的。对于差异， \(\alpha>2\) 否则，差异就不存在了。同样，对于有限的偏度和峰度， \(\alpha>3\) 和 \(\alpha>4\) 分别为。