scipy.linalg.qr_update¶

scipy.linalg.qr_update(Q, R, u, v, overwrite_qruv=False, check_finite=True)¶

秩-k QR更新

如果 A = Q R 是的QR因式分解 A ，返回的QR因子分解 A + u v**T 真的 A 或 A + u v**H 对于复杂的 A 。

参数

Q(M，M)或(M，N)类阵列: 由A的QR分解得到的酉/正交矩阵。
R(M，N)或(N，N)类阵列: 由A的QR分解得到的上三角矩阵。
u(M，)或(M，k)类阵列: 左更新向量
v(n，)或(N，k)类阵列: 右更新向量
overwrite_qruv布尔值，可选: 如果为True，请在执行更新时使用q、R、u和v(如果可能)，否则根据需要进行复制。默认为False。
check_finite布尔值，可选: 是否检查输入矩阵是否仅包含有限个数字。禁用可能会带来性能提升，但如果输入确实包含无穷大或NAN，则可能会导致问题(崩溃、非终止)。默认值为True。

退货

Q1ndarray: 更新的酉/正交因子
R1ndarray: 更新的上三角因子

参见

qr, qr_multiply, qr_delete, qr_insert

注意事项

此例程不能保证 R1 是真实的还是正面的。

0.16.0 新版功能.

参考文献

1: 高卢布，G.H.&Van Loan，C.F.矩阵计算，第三版。(约翰·霍普金斯大学出版社，1996)。
2: Daniel，J.W.，Gragg，W.B.，Kaufman，L.&Stewart，G.W.重新正交化和更新Gram-Schmidt QR分解的稳定算法。数学课。电脑。30,772-795(1976)。
3: Reichel，L.&Gragg，W.B.算法686：用于更新QR分解的Fortran子例程。ACM传输数学课。软件。16369-377(1990)。

示例

>>> from scipy import linalg
>>> a = np.array([[  3.,  -2.,  -2.],
...               [  6.,  -9.,  -3.],
...               [ -3.,  10.,   1.],
...               [  6.,  -7.,   4.],
...               [  7.,   8.,  -6.]])
>>> q, r = linalg.qr(a)

给定此q，r分解，执行秩1更新。

>>> u = np.array([7., -2., 4., 3., 5.])
>>> v = np.array([1., 3., -5.])
>>> q_up, r_up = linalg.qr_update(q, r, u, v, False)
>>> q_up
array([[ 0.54073807,  0.18645997,  0.81707661, -0.02136616,  0.06902409],  # may vary (signs)
       [ 0.21629523, -0.63257324,  0.06567893,  0.34125904, -0.65749222],
       [ 0.05407381,  0.64757787, -0.12781284, -0.20031219, -0.72198188],
       [ 0.48666426, -0.30466718, -0.27487277, -0.77079214,  0.0256951 ],
       [ 0.64888568,  0.23001   , -0.4859845 ,  0.49883891,  0.20253783]])
>>> r_up
array([[ 18.49324201,  24.11691794, -44.98940746],  # may vary (signs)
       [  0.        ,  31.95894662, -27.40998201],
       [  0.        ,   0.        ,  -9.25451794],
       [  0.        ,   0.        ,   0.        ],
       [  0.        ,   0.        ,   0.        ]])

更新是等效的，但比下面的更新更快。

>>> a_up = a + np.outer(u, v)
>>> q_direct, r_direct = linalg.qr(a_up)

检查我们是否有相同的结果：

>>> np.allclose(np.dot(q_up, r_up), a_up)
True

并且更新后的Q仍然是么正的：

>>> np.allclose(np.dot(q_up.T, q_up), np.eye(5))
True

更新经济(精简、精简)分解也是可能的：

>>> qe, re = linalg.qr(a, mode='economic')
>>> qe_up, re_up = linalg.qr_update(qe, re, u, v, False)
>>> qe_up
array([[ 0.54073807,  0.18645997,  0.81707661],  # may vary (signs)
       [ 0.21629523, -0.63257324,  0.06567893],
       [ 0.05407381,  0.64757787, -0.12781284],
       [ 0.48666426, -0.30466718, -0.27487277],
       [ 0.64888568,  0.23001   , -0.4859845 ]])
>>> re_up
array([[ 18.49324201,  24.11691794, -44.98940746],  # may vary (signs)
       [  0.        ,  31.95894662, -27.40998201],
       [  0.        ,   0.        ,  -9.25451794]])
>>> np.allclose(np.dot(qe_up, re_up), a_up)
True
>>> np.allclose(np.dot(qe_up.T, qe_up), np.eye(3))
True

与上面类似，执行秩2更新。

>>> u2 = np.array([[ 7., -1,],
...                [-2.,  4.],
...                [ 4.,  2.],
...                [ 3., -6.],
...                [ 5.,  3.]])
>>> v2 = np.array([[ 1., 2.],
...                [ 3., 4.],
...                [-5., 2]])
>>> q_up2, r_up2 = linalg.qr_update(q, r, u2, v2, False)
>>> q_up2
array([[-0.33626508, -0.03477253,  0.61956287, -0.64352987, -0.29618884],  # may vary (signs)
       [-0.50439762,  0.58319694, -0.43010077, -0.33395279,  0.33008064],
       [-0.21016568, -0.63123106,  0.0582249 , -0.13675572,  0.73163206],
       [ 0.12609941,  0.49694436,  0.64590024,  0.31191919,  0.47187344],
       [-0.75659643, -0.11517748,  0.10284903,  0.5986227 , -0.21299983]])
>>> r_up2
array([[-23.79075451, -41.1084062 ,  24.71548348],  # may vary (signs)
       [  0.        , -33.83931057,  11.02226551],
       [  0.        ,   0.        ,  48.91476811],
       [  0.        ,   0.        ,   0.        ],
       [  0.        ,   0.        ,   0.        ]])

此更新也是有效的QR分解 A + U V**T 。

>>> a_up2 = a + np.dot(u2, v2.T)
>>> np.allclose(a_up2, np.dot(q_up2, r_up2))
True
>>> np.allclose(np.dot(q_up2.T, q_up2), np.eye(5))
True

scipy.linalg.qr_multiply

scipy.linalg.qr_delete