摘要: 三角函数 三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。也可以说以角度为自变量,角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数,三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联,也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何...
三角函数
三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。也可以说以角度为自变量,角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数,三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联,也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用,也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中,三角函数也被定义为无穷级限或特定微分方程的解,允许它们的取值扩展到任意实数值,甚至是复数值。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中,还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出,称为三角恒等式。
三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度,在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外,以三角函数为模版,可以定义一类相似的函数,叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。三角函数(也叫做圆函数)是角的函数;它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率,也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解,允许它们扩展到任意正数和负数值,甚至是复数值。
定义
直角三角形中
当平面上的三点A、B、C的连线,AB、AC、BC,构成一个直角三角形,其中∠ACB为直角。对∠BAC而言,对边(opposite)a=BC、斜边(hypotenuse)c=AB、邻边(adjacent)b=AC,则存在以下关系:
基本函数 | 英文 | 缩写 | 表达式 | 语言描述 |
---|---|---|---|---|
正弦函数 | sine | sin | a/c | ∠A的对边比斜边 |
余弦函数 | cosine | cos | b/c | ∠A的邻边比斜边 |
正切函数 | tangent | tan | a/b | ∠A的对边比邻边 |
余切函数 | cotangent | cot | b/a | ∠A的邻边比对边 |
正割函数 | secant | sec | c/b | ∠A的斜边比邻边 |
余割函数 | cosecant | csc | c/a | ∠A的斜边比对边 |
变化情况
正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) ,余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) ;
正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) ,余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);
正割值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小),余割值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
特殊角
在三角函数中,有一些特殊角,例如30°、45°、60°,这些角的三角函数值为简单单项式,计算中可以直接求出具体的值。
这些函数的值参见下表格:
角度 | 0° | 15° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 270° |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
弧度 | 0 | π/12 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2π/3 | 3π/4 | 5π/6 | π | 3π/2 |
sin值 | 0 | (√6-√2)/4 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | -1 |
cos值 | 1 | (√6+√2)/4 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | -1/2 | -√2/2 | -√3/2 | -1 | 0 |
tan值 | 0 | 2-√3 | √3/3 | 1 | √3 | ∞ | -√3 | -1 | -√3/3 | 0 | ∞ |
cot值 | ∞ | 2+√3 | √3 | 1 | √3/3 | 0 | -√3/3 | -1 | -√3 | ∞ | 0 |