纽结理论的数学研究

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纽结理论的数学研究

2016-11-08 作者: xuzhiping 浏览: 3072 次

摘要: 公元前333年,亚历山大大帝劈开戈尔狄安结的时候,一定不了解这项恶劣行径的数学意义。同样,童子军、登山者、渔夫或水手在打结时,也不会关心此过程中牵涉到的高等数学知识。只有科学家才会因为一个错误而立即注意到“结”这个东西。下面就是事情的经由。 苏格兰科学家开尔文...

公元前333年,亚历山大大帝劈开戈尔狄安结的时候,一定不了解这项恶劣行径的数学意义。同样,童子军、登山者、渔夫或水手在打结时,也不会关心此过程中牵涉到的高等数学知识。只有科学家才会因为一个错误而立即注意到“结”这个东西。下面就是事情的经由。

苏格兰科学家开尔文勋爵于临终前相信,原子是由微小的管子组成,这些管子会相互交缠,然后在以太中高速移动。在普遍接受开尔文勋爵的这个理论约20年之后。这项理论被证明是错的,但这个错误的信念却让另一位苏格兰物理学家泰特兴起了将所有可能的纽结做分类的念头 (数学中的纽结与日常生活的结不同,它们的自由两端是彼此连接在一起的;换言之,纽结理论中的纽结全部是封闭的环)。

一种肤浅的分类方式是,将两条绳子的交叉数作为纽结的分类标准。然而,这种分类法没有考虑到一种可能性,亦即两个看似不同的纽结其实可能是相同的,也就是透过绳子的挑、扯、拉、拔 (但不能剪断或解开),可以把其中的一个纽结变成另一个纽结。因此,如果一个纽结可以“变形”为另一个,这两个纽结就是等价的。泰特很直觉地发现了这个概念,尝试在他的分类法中只考虑真正不同的纽结,而这些无法再被拆解为其他组分的纽结称为素型纽结。

1974年,纽约律师佩尔科发现了泰特分类法的错误。他在客厅的地板上进行研究工作,最后终于把一个有10个交叉的纽结,变成另一个被泰特列为不同类型的纽结。

现在我们了解的是:有3个交叉的纽结只有1种;有4个交叉的纽结也只有1种;有5个交叉的纽结有2种;有1个直到10个交叉的纽结则共有249种。超过这个范围之后,每类纽结的个数会迅速增加,有1个至16个交叉的不同类型的纽结总共有1701935种之多。

数学中的纽结理论一直关乎一个核心问题: 两个纽结到底是不同的,还是其中之一可以不经剪、接绳子而变形为另一个纽结。这种变形必须通过德国数学家赖德迈斯特所发现的3种基本操作来实现。另一个相关问题是,看起来像是纽结的一团绳子,实际上是否可能是“不打结”的,因为我们可以利用赖德迈斯特的基本操作来解开它。魔术师的惯用伎俩显然就是利用这种“不打结”的细绳,以看似神奇的手法解开乱七八糟的结,让观众惊叹。

后来的数学家开始忙着寻找能够明确归类的不同纽结的特性,称其为“不变量”,并用它来区别不同的纽结。普林斯顿高等研究院的詹姆斯•亚历山大发现,多项式很适合用来对各种纽结分类:如果多项式不同,相对应的纽结就不同。很不幸的是,不久这个论点的逆命题被证实不成立,因为不同的纽结可能会有恒同的多项式。一些数学家在研究不同的分类系统,另一些则仍在寻找如何将恒同的纽结从一个形式转变为另一个等价形式的可行方法。

这个问题真的与童子军、登山者、渔夫或水手以外的人有关系吗?在数学的分支中,纽结理论是理论发展先于考虑应用的例子之一。一段时间后,纽结理论的实际应用才逐渐浮现,纽结也在日常生活中找到了用处。化学家及分子生物学家对纽结特别感兴趣。举例来说,他们中间有些人研究长条形DNA分子如何缠绕才能挤进细胞核里,如果我们把典型的细胞放大至足球大小,DNA双螺旋链的长度约有200千米。众所皆知,长链总是倾向于自发地扭曲缠绕在一起,而科学家感兴趣的是DNA链是哪一种纽结,它们又如何解开。

对这个议题感兴趣的当然还包括理论物理学家,20世纪末时,量子力学显得无法与万有引力兼容。到了1970~1980年代,量子物理学家提出了弦理论作为这个难题的新解答。弦论的基本论点是,基本粒子是挤在高维空间里的微小的弦(所以开尔文勋爵的错误猜想毕竟不一定完全错误),而在这种情况下,这些弦很明显地会相互交缠。让这纽结理论又有了另一个应用空间。

此外还有一群人,其中包括科学家,对纽结理论也很感兴趣,就是每天早上打领带的男士。剑桥卡文迪许实验室的两位物理学家芬克和毛勇研究优雅男士在早晨上班前及傍晚赴宴前,在领带上需要花费的工夫,他们发现有不下于85种打领带的方式。但并非所有方式都能符合传统审美标准,就像你知道的,即使看似公认的例行行为,执行时还是要考虑诸多因素。比如,对称是优雅领带结的绝对必要条件;然后,熟谙时尚的男士都知道,打领带结时只能移动较宽的那一端;最后,领带活动端向右与向左移动的次数应该大致相等。因此,很遗憾,想遵守上述规则的时尚绅士将无法利用全数85种可能的打领带方式,这些不幸使我们只剩下10种领带结法可以选择。

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