波尔特证明纽结理论

波尔特证明纽结理论


发布日期: 2016-10-24 更新日期: 2016-11-08 编辑:xuzhiping 浏览次数: 5463

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摘要: 大约有一个世纪的时间,关于纽结的数学理论都在处理“把单位圆嵌进三维空间”这个问题,纽结的数学定义是“三维欧几里得空间中封闭、分段的线性曲线”。数学上的纽结理论是拓扑学一个分支,专门研究理想化的弦,并假设它们无穷细。除了数学家感兴趣,纽结理论甚至一度吸引了门外汉...

大约有一个世纪的时间,关于纽结的数学理论都在处理“把单位圆嵌进三维空间”这个问题,纽结的数学定义是“三维欧几里得空间中封闭、分段的线性曲线”。数学上的纽结理论是拓扑学一个分支,专门研究理想化的弦,并假设它们无穷细。除了数学家感兴趣,纽结理论甚至一度吸引了门外汉的注意,因为线与绳子都是肉 眼可见的实物。纽结理论涉及三维空间也是它的有利之处,如果有人将纽结理论放到四维空间中,那么所有的纽结(都是用一维空间的线打成的)立刻就会变成“不打结”的。

物理学中的纽结理论与数学中的纽结理论刚好相反,处理的不是无穷细的抽象概念,而是真实的绳索,有一定的直径或厚度。举例来说,研究物理纽结理论的科学家感兴趣的是,在现实世界中可以打出哪些类型的结,或是打出某个特定的结需要多长的绳子。目前的想法是,打结所需的绳索长度可能是衡量其复杂程度的标准之一。因为像DNA之类的绳状物体大小有限,相较于抽象的数学理论,物理纽结理论能提供更多科学问题的实际答案。

面对真实的结时,绳子的布局极端重要。在数学纽结理论中,所有可以通过拖、扭、拉而互相变换的纽结,都被归类成等价的。但在物理理论中则不然,绳子的精确定位具有关键的重要性,绳子的配置中如有任何偏离,无论多小,都会出现一个新结。换言之,只要拉扯一个结就会产生一个新结,每个结的外观都有无穷多种,这就是这个看来简单的问题至今却依然无解的困难所在。

以最简单的三叶结或单结为例,直到最近都没有人知道一条直径一英寸(0.0254米)、长度一英尺(0.3048米)的绳索,是否可以打成一个三叶结(在纽结理论中,绳子的两端必须相连,亦即绳子形成一个封闭环,因此三叶结会成为一个苜蓿叶结)。

通过简单的思考就会发现,长度只是宽度7倍(π大约等于3.14)的绳子不足以打出任何结,只够把两个自由末端连起来形成一个紧密的环(长度沿绳子的中心轴线测量),根本不会有剩下的长度来打一个真正的结!因此是结的下限。然而,知道这个事实仍无法回答多长的绳子才够打一个苜蓿叶结的问题 (这正如建筑工人 被问到需要多长时间完工时,他们的回答总是:“那么一根绳子有多长呢? ”这个答案的真正意义是:“谁知道? ”)。

为了可以进一步解答这个问题,纽结理论家想出了一个聪明的主意。他们设计了一个描绘纽结的计算机模型,并假设斥力沿着绳子分布,因此绳子之间会相互排斥,使得结自动变形为绳子间相互距离为最远的模式。绳子若有多余部分,很快就可以看到,然后以拉扯的方式除去。数学家依据这种方式及类似动作,持续寻找打结所需的最短绳长。

1999年,4位科学家成功算出了绳长的新下限。他们证实即使绳子的长度是直径的7.8倍(即2.5乘以)仍然不够打一个苜蓿叶结。几年后,另外3位研究者再度证出,即使长度与直径之比增至10.7仍然不够。直到2003年,任教于北卡罗莱纳大学的中国科学家刁远安才想出了原始问题的解答,而这个解答是否定的:他证实即使长12英寸、直径1英寸的绳子,仍不足以打一个苜蓿叶结。同时,他还创造了一个公式,可以计算出打一个有1850个交叉的纽结所需的最短绳长。

后来这位中国科学家设法进一步提升苜蓿叶结的条件。他指出,最短需要14.5英寸的绳子才够打一个特定的结;另一方面,计算机模拟显示需要16.3英寸。很显然,真正的答案就落在这两个数字之间。

让物理纽结理论家伤脑筋的另一个问题是有关传说中的戈尔狄安结的神秘而又复杂的形式。由于亚历山大大帝无法解开传说中神秘而又复杂的戈尔狄安结,只好用剑把它劈开。戈尔狄安结到底是什么样子?长久以来,人们猜想这个结是趁着绳子还湿的时候打的,然后让它在太阳底下晒干,如此一来,打了结的绳子便缩短至最小长度。到了2002年,波兰物理学家皮朗斯基及瑞士洛桑大学生物学家斯塔夏克发现了这种类型的结。借助计算机模拟,他们创造出了一个绳长过短而无法打开的结,并在提供给媒体的声明稿中说:“这个紧缩后绳圈的交缠方式,将无法用简单的操作,使它回复至原来的圆形状态。”

研究过计算机模拟的结果后,这两位科学家又有了另一项完全意外的发现,这项发现可能造成深远影响。他们定义了结的“分支数”:每次绳子的一股由左至右绕过另一股时,分支数就加1;每次绳子的一股由右至左绕过另一股时,分支数减1。让他们大吃一惊的是,他们拿来计算的每个结,平均分支数(从各个视角看到的分支数字平均)都是j的倍数,而至今还没有人能对这个现象提出合理的解释。记得前面提过,“弦论”是把基本粒子形容为微小、可缠绕的弦,因此一些科学家怀疑,基本粒子的定量特性可能就存在于这个“结量子”的神秘特质之中。

物理学的结在日常生活中应用十分广泛,如绑鞋带。澳大利亚蒙那什大学的数学家波尔斯特决定,他要把这件日常琐事当做严密的数学分析对象。他所用的准则包括鞋带长度、捆绑的牢固程度以及结的紧密度。波尔斯特证明,假设鞋的每个鞋带孔都会影响鞋带的张力,那么鞋带最短的绑法是每隔一个鞋带孔交叉一次鞋带,而不是每次都交叉(准确的交叉次数是鞋带孔为奇数或偶数的函数)。

用这种方式绑鞋带当然不会太牢固,如果脚背的张力是个重要因素,那么传统的鞋带绑法当然最佳:每次鞋带穿进鞋带孔都交叉一次。另一种也很传统但可能较优雅的办法是:先拿起鞋带一端,再从最底下的鞋带孔直接穿至对侧最上端的鞋带孔,然后再用鞋带的另一端,以平行方式由下至上依序穿过两侧鞋带孔。

穿好鞋带后,鞋带两头如何打结比较好?大多数人会打一个双结,而圈圈只有装饰功能。但事情并不像你一开始想象的那么简单明了,其实打结的方法有两种,两者的差异显而易见。第一种是祖母结,就是在鞋带两端的同向交叉两次。每个男童子军及女童子军都知道这种结不牢靠,在游乐场里也可以看到明证,因为妈妈们总是不时弯腰帮孩子绑鞋带(难怪魔术黏扣这么流行,但不幸的是,它剥夺了孩子最刺激的学习体验)。另一种较紧密也较牢固的绑法是所谓的方结。这种结和祖母结很像,只有一点不同,就是先以一个方向交叉鞋带打第一个结,然后轮到第二个结时,把两个圈圈以相反的方向交叉。

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