难解的单纯等式问题

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难解的单纯等式问题

2016-11-08 作者: xuzhiping 浏览: 2421 次

摘要: 数论的问题通常可以用简单的方式来表达,即使刚学步的小孩,也可能知道\(9-8=1\);大多数小学生也都知道\(9=3 \times 3\),还有\(8=2 \times 2 \times 2\)。最后,大多数初中生都知道\(9=3^2\),而\(8=2^3\)...

数论的问题通常可以用简单的方式来表达,即使刚学步的小孩,也可能知道\(9-8=1\);大多数小学生也都知道\(9=3 \times 3\),还有\(8=2 \times 2 \times 2\)。最后,大多数初中生都知道\(9=3^2\),而\(8=2^3\)。这让我们看到表达式\(9-8=1\)的另一种表达方式,也就是\(3^2-2^3=1\)。是否可能针对如此简单、单纯的等式,拟出一个深人的问题?结果显示,答案是肯定的:“是。” 虽然听起来很不可思议,但这个看似容易的等式却曾经是历时一个半世纪的谜题的起源。

1844年,比利时数学家卡塔兰在数学期刊《克列尔期刊》(OeWe、Mmo/)中,公开提出一 个问题:“除了 2和3之外,是否还有比1大的整数*,;^,t;,能够满足就像\(3^2-2^3=1\))? ” 卡塔兰猜测结果应该是无解,但没有证明出来。

这个猜想看似简单,解答却其实非常复杂。人们很快就会发现u和t;必须是素数,但此后158年间却都没有任何进展。只有在2002年春天发生了一件事,德国帕德博恩大学的数学家米哈伊列斯库找出了开启这个猜想的钥匙。

他是怎么做到的?对这位罗马尼亚出生的数学家而言一切都是从神圣的苏黎世瑞士联邦理工学院开始的,米哈伊列斯库就是在这所知名机构获得后来研究所必需的数学工具。但就在即将完成博士论文之前,他决定从大学转向产业界,不过后来又决定回到学校着手第二篇博士论文,题目是“素数”。这次米哈伊列斯库确实把论文写完了。他是在高科技公司担任指纹专家时,第一次遇到了所谓“卡塔兰猜想”。

14世纪初期,也就是卡塔兰在《克列尔期刊》中发表这一猜想之前500多年,亦被称作希伯莱厄斯的犹太学者热尔松,就曾提出过这个问题的变形。这位犹太祭师大部分时间住在加泰罗尼亚,他证明了8和9是唯一一组平方与立方相差为1的数4个世纪后,欧拉说明如果式子中的幂次u和只限于2和3的话,这个猜想是正确的,然后一切又归于沉寂,直到1976年才又向前迈进了一步。

剑桥大学数学家贝克和荷兰莱顿大学的蒂德曼在研讨会论文中证明了,若卡塔兰猜想有解,则解只有有限多个。同年,他又证明了这个问题中的幂必须小于10。

即使这是一个天文数字(1后面有110个0),但这个结果开启了闸门。从那时开始,问题就只是把可能解答的上限降至可以处理的数字,然后把范围内的所有幂都测试一次。法国斯特拉斯堡巴斯德大学的米尼奥特)(Maurice Mignotte)是第一个降低门坎的人,他在1999年展示了可能解的幂应该小于1016,而那时已经证明这个幂必须大于107。虽然范围大幅缩小,但这个范围对于用计算机解题而言还是太大了。

轮到米哈伊列斯库首次出击了。有一次,他参加完巴黎的研讨会,坐火车回苏黎世时,在车上无聊地做白日梦,脑中忽然出现一个想法: 卡塔兰等式的幂必须是威费利希素数对(Wieferich pair),也就是两个可以用复杂方式相互整除的数字。威费利希素数对非常罕见,至今只发现6对,因此卡塔兰等式的可能解答的寻找范围仅限于威费利希素数对,而且要小于1016。因为这灵光一闪,卡塔兰问题变得可以用计算机来验证。一项让因特网的使用者利用个人计算机的闲置时间来工作的计划由此展开,目标是寻找威费利希素数对,将它们代入卡塔兰等式中测试。但搜寻的进度十分缓慢,所以这项计划在2001年被放弃了。当时解答的下限至少已经提高到了108,但即使仅测试108~10哺围内的数字,也需要好几年时间。

现在,米哈伊列斯库再度出击。他想起一个冷门的科目“割圆域理论”,这是德国数学家库默尔(Eduard Kummer,1810~1893)在证明费马猜想失败时发展出来的。过了一个世纪后,米哈伊列斯库终于能利用库默尔奠定的基础,填补了卡塔兰猜想证明的最后一个洞。

解出一个历史悠久、全球知名的问题,是什么感觉?根据米哈伊列斯库的说法,并没有十分兴奋。他之前曾经6度相信自己已经达到目标,但很快就发现有漏洞,因此变得很谨慎。随着时间流逝,他才逐渐确信自己最终真的成功了,把证明拿给已经在这个问题上花了半辈子的米尼奥特看。隔天早上,米尼奥特告诉他,他认为证明是正确的。他们没有大肆庆祝,但是很高兴!

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