scipy.special.chebyt¶
- scipy.special.chebyt(n, monic=False)[源代码]¶
第一类切比雪夫多项式。
定义为
\[(1-x^2)\frac{d^2}{dx^2}T_n-x\frac{d}{dx}T_n+n^2T_n=0;\]\(T_n\) 是一次多项式 \(n\) 。
- 参数
- n集成
多项式的次数。
- monic布尔值,可选
如果 True ,将前导系数缩放为1,默认值为 False 。
- 退货
- T正交1d
第一类切比雪夫多项式。
参见
chebyu
第二类切比雪夫多项式。
注意事项
多项式 \(T_n\) 是正交的吗? \([-1, 1]\) 带权重函数 \((1 - x^2)^{{-1/2}}\) 。
参考文献
- AS
米尔顿·阿布拉莫维茨和艾琳·A·斯特根主编。包含公式、图表和数学表的数学函数手册。纽约:多佛,1972年。
示例
第一类切比雪夫多项式 \(n\) 可以获得作为特定的行列式的 \(n \times n\) 矩阵。作为一个例子,我们可以检查从下列行列式中获得的点是如何 \(3 \times 3\) 矩阵精确地铺设在 \(T_3\) :
>>> import matplotlib.pyplot as plt >>> from scipy.linalg import det >>> from scipy.special import chebyt >>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01) >>> fig, ax = plt.subplots() >>> ax.set_ylim(-2.0, 2.0) >>> ax.set_title(r'Chebyshev polynomial $T_3$') >>> ax.plot(x, chebyt(3)(x), label=rf'$T_3$') >>> for p in np.arange(-1.0, 1.0, 0.1): ... ax.plot(p, ... det(np.array([[p, 1, 0], [1, 2*p, 1], [0, 1, 2*p]])), ... 'rx') >>> plt.legend(loc='best') >>> plt.show()
它们也与雅可比多项式有关。 \(P_n^{{(-0.5, -0.5)}}\) 通过关系:
\[P_n^{(-0.5,-0.5)}(X)=\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}T_n(X)\]我们来验证一下 \(n = 3\) :
>>> from scipy.special import binom >>> from scipy.special import chebyt >>> from scipy.special import jacobi >>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01) >>> np.allclose(jacobi(3, -0.5, -0.5)(x), ... 1/64 * binom(6, 3) * chebyt(3)(x)) True
我们可以画出切比雪夫多项式 \(T_n\) 对于某些值, \(n\) :
>>> import matplotlib.pyplot as plt >>> from scipy.special import chebyt >>> x = np.arange(-1.5, 1.5, 0.01) >>> fig, ax = plt.subplots() >>> ax.set_ylim(-4.0, 4.0) >>> ax.set_title(r'Chebyshev polynomials $T_n$') >>> for n in np.arange(2,5): ... ax.plot(x, chebyt(n)(x), label=rf'$T_n={n}$') >>> plt.legend(loc='best') >>> plt.show()