黑尔斯几何图形的发现

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黑尔斯几何图形的发现

2016-11-08 作者: xuzhiping 浏览: 3478 次

摘要: 每个月全世界的学者大约会写出4000篇文章,发表在无数科学期刊上。2002年1月,美国数学家黑尔斯(Tliomas Hales)撰写了一篇极其重要的论文,被美国数学协会遴选出来大力表扬。 这是唯一的一次,严谨的数学理论也吸引了工人的注意。铺砖工人常常使用各种形...

每个月全世界的学者大约会写出4000篇文章,发表在无数科学期刊上。2002年1月,美国数学家黑尔斯(Tliomas Hales)撰写了一篇极其重要的论文,被美国数学协会遴选出来大力表扬。

这是唯一的一次,严谨的数学理论也吸引了工人的注意。铺砖工人常常使用各种形状的瓷砖来铺设浴室、厨房和门廊地板,他们或许也能从这篇论文中找到乐趣。在这些工人中,说不定就有一、两个曾经想过类似的问题,例如:“铺设相同的面积时,什么形状的瓷砖周长最短?”不管是实用价值,或者数学应用上的贴切性,黑尔斯的论文对这个问题的探讨,都足以被美国数学协会选为杰出论文。

铺砖工人可以先选择面积相同的三角形、正方形、五角形、六角形、七角形和八角形瓷砖,然后测量这些瓷砖的周长,看看什么形状的瓷砖周长最短。到目前为止,似乎一切进展顺利,但是现在就要开始搅拌水泥还稍嫌太早。若是铺砖工人试图用五角形的瓷砖来铺厨房地板,很快就会发现瓷砖之间出现了不少缝隙。事实上,五角形的瓷砖不能用来铺地板,因为一块紧接着一块的时候,它们无法拼接得天衣无缝。其他如七角形、八角形,还有大多数正多边形也一样,用这些形状的瓷砖来铺厨房地板,瓷砖与瓷砖之间必然会留下缝隙。

古代毕达哥拉斯学派(Pythagoreans)的学者们很熟悉这类几何学。他们知道在所有正多边形里,只有三角形、正方形与六角形可以铺满一个平面,不留任何空间,而其他类型的正多边形一定会留下缺口。

因此,铺砖工人的选择其实相当有限,他只能从上述3种可用的形状中测量哪一种的周长最短。以面积100平方厘米为例:三角形瓷砖的周长是45厘米,正方形的周长是40厘米,六角形的周长最短,只有37厘米。亚力山大的帕波斯(Pappus of Alexandria,290~350)早就知道六角形是最有效率的正多边形。蜜蜂也知道这点,它们想用最少蜂蜡建造出能装最多蜂蜜的窝,所以把蜂窝盖成六角形。

在这3种可用的形状中,六角形周长最短的原因是它最接近圆形,而在全部的几何形状中,圆形的周长最短,例如若要围出100平方厘米的面积,圆形只需要大约35厘米的周长。

现在,我们可以宣布问题已经解决了吗?还早呢!谁说地板上只能铺一种形状的瓷砖?为什么瓷砖的各个边要一样长,而且是直线?实际上,瓷砖的外形甚至不必是凸形的,不妨想象一下边缘向外凸或向内凹的瓷砖。地板可以铺上各式形状的瓷砖,这样更显美观,就像埃舍尔(M. C. Escher, 1898—1972)在他的画作中最擅长的表现手法。

数学家会自问:“在人们能够想象出的众多瓷砖形状中,哪一种形状的瓷砖周长最短?”近1700年来,大家的猜测答案大多是蜂巢状的六角形,只不过一直无法证明。

来自加里西亚的波兰数学家斯坦因豪斯是第一个取得明显突破的人,他证明在瓷砖形状为单一的前提下,以最小周长铺满地板的方式就是使用六角形的瓷砖。这比帕波斯的发现更进一步,因为斯坦因豪斯把不规则形状的瓷砖也考虑进去了。1943年,匈牙利数学家托特又向前迈进一步,证明出在所有凸多边形中,六角形的周长最短。与斯坦因豪斯不同的是,托特并不限制地板上只能铺一种瓷砖,而是可以使用许多不同形状的瓷砖,不过,他的定理中忽略了边缘不是直线的瓷砖。

到了1998年,黑尔斯才提出了完整的一般性证明,而且几个星期前,他才解开了最古老的离散几何问题,即有400年历史的“开普勒猜想"(Kepler’s conjecture,如何把完全相等的球体塞到密度最大)。黑尔斯证明出,堆栈球体最紧密的方式,就是杂货店堆橙子的方式一一分层排列,让每个球体位于其下3个球体形成的小洞上。 黑尔斯的证明成了全世界的头条新闻,但这位年轻教授并没有浪费时间沉浸在荣耀里。

1998年8月10日,都柏林二一学院的爱尔兰物理学家威尔读到报纸上的新闻后,立刻毫不迟疑地发送了一封电子邮件给黑尔斯,提醒黑尔斯注意蜂巢问题,并提出挑战:“颇值得一试!”

黑尔斯着了迷似地开始应对威尔的挑战,之前他就曾经为了证明开普勒猜想而花费了5年时间,连计算机的保险丝都烧坏了。相较之下,新问题简直易如反掌,他需要的只是铅笔和纸,以及半年的时间。

一开始,黑尔斯先将无限大的地板面积分割成大小有限的组合,然后导出一个公式,将瓷砖的面积与其周长关联起来。接下来,他将注意力移转到外凸的形状,每块外凸的瓷砖应该有一块相对应的内凹瓷砖。黑尔斯在“面积一周长公式”的帮助下,证明了内凹的瓷砖需要增加的周长比外凸瓷砖所省下的周长还长。因此整体来说,这意味着圆角的多面体比较不利,可以排除在最短周长宝座的竞争者行列之外。

既然候选者只剩下直边的瓷砖,后面的程序就很明显了,毕竟托特已经证明了正六边形就是所有直边多边形瓷砖中的最佳组合。因此,黑尔斯提供了决定性的证明,蜜蜂将蜂巢筑成六角形果然是绝对正确的决定!

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