分数的发展史

分数的发展史 

“分数”一词大家都耳熟能详，但其渊源及发展可能就鲜有所闻了。人类历史上最早产生的数是自然数(正整数)，以后在度量和均分时往往不能正好得到整数的结果，这样就产生了分数。200多年前，瑞士数学家欧拉也在《通用算术》一书中说，要想把 7米长的一根绳子分成三等份是不可能的，因为找不到一个合适的数来表示它，如果把它分成三等份，每份是7/ 3米，是一种新的数，我们把它叫做分数。分数这个名称直观而生动地表示了这种数的特征，例如，一只西瓜四个人平均分，不把它分成相等的四块行吗?从这个例子就可以看出，分数是度量和数学本身的需要--除法运算的需要而产生的。 

最早使用分数的国家是中国。我国春秋时代(公元前 770年~前 476年)的《左传》中，规定了诸侯的都城大小:最大不可超过周文王国都的三分之一，中等的不可超过五分之一，小的不可超过九分之一。秦始皇时代的历法规定:一年的天数为三百六十五又四分之一。《九章算术》是我国 1800多年前的一本数学专著，其中第一章《方田》里就讲了分数四则算法:约分、合分(分数加法)、减分(分数减法)、乘分(分数乘法)、除分(分数除法)的法则，与我们现在的分数运算法则完全相同，另外，还记载了课分(比较分数大小)、平分(求分数的平均值)等关于分数的知识，是世界上最早的系统叙述分数的著作。中国使用分数比其他国家要早出一千多年，并且用于社会生产和生活。 

古埃及三千年的文明，是自南向北贯穿埃及全境的尼罗河恩施的。从莱茵德纸草书中我们发现，埃及人有一个重要而有趣的特点，喜欢使用单位分数，即形如 1/n 的分数。不仅如此，他们可以把任意一个真分数(小于 1的有理数)表示成若干不相同的单位分数之和。例如，2/5 =1/3 +1/5， 7/29=1/6 +1/24 +1/58+1/87 +1/232 。埃及人为何对单位分数情有独钟?我们就不得而知了。无论如何，利用单位分数，分数的四则运算得以进行了，尽管做起来比较麻烦。也正因为如此，才有了被后人称埃及分数 (Egyptian fractions)的数学问题，这也是莱茵德纸草书中最有价值的问题。埃及分数属于数论的一个分支--不定方程(解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数)。埃及分数引出了大量的问题，其中有许多至今尚未获得解决，同时它还不断产生新的问题。可以毫不夸张地说，每年世界各国都有硕士、博士论文甚至大师们的工作是围绕着这个问题开展研究的。难怪 20世纪抽象艺术的开创者、俄国画家康定数学世界斯基说，“最古老的也是最现代的。” 

早在公元前 2100多年，古代巴比伦人(现处伊拉克一带)由于创造了六十进制的计数制度，所以他们就使用了分母是 60的分数。 

分数的写法也经历了历史的变迁，古代分数的表示方法笨拙而复杂，以至于德国有句谚语形容一个人陷入绝境，就说:“掉到分数里去了”。我国古代先秦分数表示法，虽形式多样，但表现方式极有规律。例如，《睡虎地秦墓竹简》中的“十牛以上而三分之一死”，《老子·德经》第五十章中的“出生入死，生之徒十有三，死之徒十有三。而民之生，生而动，动皆之死地，亦十有三”，《左传》中的“十一分其室而以其五与之”等，其发展过程是量词在分数形式中的词序位置后移，最后发展成为汉语中最基本的表现形式:X分之X。我国古代在数学方1面用“ 1/111 ”表示1/3 。 

巴比伦人用进位计数法表示分数，例如 作为分数来记时，可以表示20/ 60，而 作为分数来记(其中表示 20，表示 60)，可表示21 /60或20/ 60 +1/602(六十进制分数，即小于一的数，用六十乘幂的逆方幂表示，这种写法仍为希腊人所采用，并且一直沿用到十六世纪文艺复兴时的欧洲。)少数几个分数有其特定记号，例如, 这些特殊分数 1/2，1/3 ，2/3对巴比伦人来说，在量的度量意义上是做为„整体‟看待的，而不是一的几分之几。 

埃及数系中分数的记法比我们今日的复杂得多，记号  读作 ro，原表示浦式耳(谷物容量，一蒲式耳合八加仑)，埃及人用来表示一个分数，在僧侣文中把卵形改成一个点，卵形   或点通常记在整数上，表明它是个分数，例如在象形文字写法中， 少数几个分数用特殊记号表示，如象形记号  表示1/ 2，表示 2/3，表示1/4。 

古希腊人表示分数也有其独特的风格，他们用特殊记号 L''表示 ，   其中 =1， =2， =3。写小的分数时在分子上加一重音符号，然后把分母写一次或两次，每次加两个重音符号，例如，lr'k ''k '' (其中 l=10， =9，k=20)，当分子大于一时，古希腊人把这种分数写成单位分数之和，例如，把 163/224写成，也用   及其他式子表示同一分数，加号省略不写。 在数学史上，希腊人的后继者是印度人。印度人用六十进制记法表示天文上的分数，其他方面的分数他们用整数之比来表示，但没有用横线。 

阿拉伯人采用并改进了印度的数字记号和进位记法，他们把这些数字记号表示整数和普通分数(在印度方案上加一横线)，用于数学课本上，把按照希腊格式的阿拉伯字母数字用于天文书上，在天文上他们仍效仿用六十进位制的分数。一直到 12世纪，阿拉伯人发明了分数线，分数就成了今天这个样子。 

我们现代人看来很简单的分数，却是几千年来古今中外的学者历经艰辛创造的科学成果。可见，在攀登科学的高峰上，我们要不断回过头来学习了解前人的辉煌成就，站在更高的起点看待现代科学。正如 Hermann Weyl(外尔，德国数学家)所说:“如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立和发展的概念、方法和结果，我们就不可能理解近五十年来数学的目标，也不可能理解他们的成就。”