赛马的错误猜想

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赛马的错误猜想

2016-11-09 作者: xuzhiping 浏览: 2606 次

摘要: 当数学家在钻研纯数学领域的某个学科时,有时也会在另一个学科中获得意外回报,著名数学家费马关于数论的一些研究成果,就是最佳范例。虽然过了150年, 数学家高斯才找到数论中费马陈述的一个几何应用: 用直尺及圆规作正多角形图。费马的声名并不仅仅是来自众所周知的“最后...

当数学家在钻研纯数学领域的某个学科时,有时也会在另一个学科中获得意外回报,著名数学家费马关于数论的一些研究成果,就是最佳范例。虽然过了150年, 数学家高斯才找到数论中费马陈述的一个几何应用: 用直尺及圆规作正多角形图。费马的声名并不仅仅是来自众所周知的“最后定理”,那个定理一直只是个猜想,直到1994年才被怀尔斯证实。

费马成年后在法国图卢兹担任地方行政官,直到退休。显而易见的是,他的工作并不忙碌,因此这份闲散的职业才让他有足够时间,去追求自己的数学梦想。费马与修道士梅森保持通信,分享对数学的热爱,相互讨论数论方面的问题。梅森大部分的时间被2"+1型的数字占据,而费马猜想,如果是2的幂次,那么这个数字一定是素数。从此能表达为241的数字,就称作费马数。

费马并未对自己的猜想提出证明(事实上,他的许多证明都遗失了,其中有些证明也可能不够严谨,但他仅靠类比及天才般的直觉推论就能得到正确结果)。对于费马数,他只知道第0个及之后的4个:3,5,17,257,65 537。再下一个费马数是232+1,这个数字在他那个时代实在太大了,无法计算出来,因此未被检验出是否为素数,但前5个费马数的确只能被1及数字本身除尽。不过,从几个数字中就得出所有费马数都是素数的结论,未免太大胆,而且实际上,这个费马猜想也是错误的,这对我们这些凡夫俗子有当头棒喝的效果:原来著名数学家的猜想也会出错。

将近一个世纪后,瑞士巴塞尔的数学家欧拉找到反例。1732年,他指出对应于的费马数(等于4 294 967 297)是641和6 700 417的乘积,因此并非所有的费马数都是素数。好了,现在我们要问:哪些是,哪些又不是?

寻求解答的努力并未停歇,到了1970年,re=6的费马数也被证明是合数。现在全世界有许多志愿者愿意提供他们闲置的计算机时间,来测试费马数是否为素数。2003年10月,费马数六478 782+1 (这个数字大到如果要写下来,需要一个长度为数千光年的黑板)被宣告是合数。

很不幸的是,被测试过的数字之间有很大的间隔;事实上,前250万个费马数中,迄今只有217个被检验过。而且与费马的预期相反,除了前5个外,其他没有一个是素数。由于再也没有找到是素数的费马数,因此又引发一个刚好与费马猜想相反的新猜想:除了前5个费马数之外,其他所有的费马数都是合数。新猜想和旧猜想一样,没有被证明出来。没有人知道费马素数是否超过5个;是否有无限多个费马合数;或者除了前5个以外的所有费马数都是合数。

现在来看看几何应用。

1796年,哥廷根大学19岁的学生高斯,思索着只用直尺和圆规能画出哪些正多角形。当然,欧几里得已经画出了正三角形、正方形与正五角形。但是2000年过去了。人类在这方面并没有更多的进展,没人知道可不可以画出正十七角形。年轻的高斯证明了可以画出所谓的正十七角形,他对此极为满意。除此之外,高斯还证明了角数等于费马素数或等于费马素数乘积的正多角形,都可以用直尺和圆规画出来(说得更确切些,这个理论对角数翻倍或再翻倍的多角形也成立,因为角一定可以用直尺和圆规来平分)。

接下来,又证实了也可以画出对应下一个费马素数的257角形。还有一个叫做赫米斯的人,花了 10年时间写出如何画出正65537角形的说明,现珍藏于哥廷根大学图书馆的箱子里。

高斯怀疑如下陈述的逆命题也可能成立:可以用直尺和圆规画出来的正多角形的角数,一定是费马数的乘积。这个猜想的确是正确的,但却不是高斯证明出来的。这项荣耀落在法国数学家万茨尔身上,他在1837年提出了证 明。

高斯一生中有无数重要的数学发现,但他仍认为十七角形的作图是最重要的。基于对这项年轻时的发现的高度评价,他表达了想在墓碑上刻画这个图形的愿望。石匠虽然知道整个故事,却拒绝了这个要求,因为正十七角形太接近圆形。最后,高斯出生的城市不伦瑞克竖立了一个纪念碑,上面的石柱便是以十七角星装饰。

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