孪生素数猜想

孪生素数猜想


发布日期: 2016-10-24 更新日期: 2016-11-08 编辑:xuzhiping 浏览次数: 6940

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摘要: 在德国奥伯沃尔法赫数学研究所,科学演说本是家常便饭。然而,2003年春,美国圣何塞州立大学的数学家戈德斯通所发表的演说却完全不同,这项演说内容在数学界引发了一场风暴。他与土耳其籍同事耶尔德勒姆(Cem Yildirim)在所谓 “孪生素数猜想”的证明上,似乎有...

在德国奥伯沃尔法赫数学研究所,科学演说本是家常便饭。然而,2003年春,美国圣何塞州立大学的数学家戈德斯通所发表的演说却完全不同,这项演说内容在数学界引发了一场风暴。他与土耳其籍同事耶尔德勒姆(Cem Yildirim)在所谓 “孪生素数猜想”的证明上,似乎有重大突破。这些复杂多变的兄弟 姐妹关系,到底有什么让数学家兴奋不已的地方?

在整数集合中,素数就如同原子一般,因为所有整数都能以素数的乘积来表示,例如\(12=2 \times 2 \times 3\),就像分子由各种不同的原子组成。素数理论一直笼罩着神秘的面纱,存在着许多秘密。这些秘密包括:1742年,哥德巴赫与欧拉提出了未证明的哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想的内容是:每一个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,例如\(20=3+17\)。

尽管化学元素周期表只有120个元素,但这些元素就可以组成所有的物质。而两位古希腊数学家欧几里得(Euclid)与埃拉托色尼,早就知道有无限多个素数, 但他们认为最重要的问题是:素数在整数系统中是如何分布的?

前100个整数中,有25个素数;在第1001个与第1100个整数之间,只有16个素数;在第10000个与第100100个整数之间,仅有6个素数。我们发现,愈到后面,素数会愈来愈稀疏;换言之,连续两个素数间的平均距离会逐渐增大(变得“罕见而稀少”)。

进入19世纪时,法国的勒让德与德国的高斯开始探究素数的分布。根据他们的研究,他们推测素数P与下一个素数间的距离,一般而言,应该与P的自然对数一样大。

然而,他们求得的这个数值只能作为平均数。间隔有时很大,有时又很小,有时甚至很长一段间隔都没有出现素数。另一方面,最小的间隔是2,因为两个素数之间至少会有一个偶数,而每两个间隔仅为2的素数就称为孪生素数,例如11和13,197和199。此外,还有表亲素数(prime cousins):两个被4个非素数整数隔开的素数。而两个素数若是被6个非素数整数隔开。就叫做(你猜对了!):性感素数(sexy primes)。

人们对孪生素数的了解比普通素数少得多,但可以确定的是,它们并不常见。在前100万个整数中,只有8169对孪生素数,而目前所知的最大孪生素数其位数超过5万位。但这只是冰山一角,没有人知道是否会有无限多对孪生素数,或者孪生素数会在某一对之后再不出现。数学家相信前面那个推测是正确的,戈德斯通与耶尔德勒姆想证明的就是这个观点。

他们宣称,在相邻素数之间,远比P的自然对数小(即使P趋近于无限大)的间隔有无限多个。这两位数学家没来得及庆祝他们的发现,他们在宣布自己的发现后不久,就被唤醒回到现实,当时勒让德与高斯这两位同行决定一步步重演他们的证明流程。但在艰辛的证明过程中,他们注意到戈德斯通与耶尔德勒姆忽略了一个误差项,而这个误差项相当大,使得整个证明让人无法接受因而无效。

2年后,在匈牙利的平茨(Janos Pintz)帮助下,戈德斯通与耶尔德勒姆修正了他们的工作成果。他们成功地填补了漏洞,而这个证明终于被承认是正确的,即使他们无法证明有无限多对孪生素数,但绝对是朝着正确的方向迈进了一大步。

1990年代,美国弗吉尼亚州的奈斯利(Thomas Nicely)发现,研究孪生素数理论不仅仅是智力锻炼。为了搜寻大型的孪生素数对,他测试了\(4 \times 10^{15}\)以下的全部整数,他的算法需要计算一个简单的式子。但当他在该公式中代入某些特定数字时,得到的却不是1,而是一个不正确的结果,这让他吓了一跳。在1994年10月30曰,他发送了一封电子邮件告诉他的同事们,他的计算机在计算上述方程式时,若数字介于824633702418与824633702449之间,就会持续产生错误的结果。虽然奈斯利研究的是孪生素数,却抓到了大名鼎鼎的奔腾(Pentium)微处理器芯片的瑕疵,这个错误让制造商英特尔付出5亿美元的赔偿金。而这个绝佳范例告诉我们(我无意开玩笑),数学家从来不知道他们的研究和错误,会为他们带来什么。

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