我们来了解下等比数列

我们来了解下等比数列


发布日期: 2016-10-24 更新日期: 2016-11-07 编辑:xuzhiping 浏览次数: 4594

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摘要: 一般地,假如一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比一般用字母q表明(q≠0)。在应用等比数列的前n和时,一定要注意研讨公比q是不是为1。 另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底...

一般地,假如一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比一般用字母q表明(q≠0)。在应用等比数列的前n和时,一定要注意研讨公比q是不是为1。

另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列;相反,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数结构幂Can,则是等比数列。在这个含义下,一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

等比中项定义:从第二项起,每一项都是它的前一项与后一项的等比中项。

(1)无限递缩等比数列各项和公式:

无限递缩等比数列各项和公式:公比的绝对值小于1的无限等比数列,当n无限增大时的极限叫做这个无限等比数列各项的和。

(2)由等比数列构成的新的等比数列的公比:

{an}是公比为q的等比数列

1、若A=a1+a2+……+an

B=an+1+……+a2n

C=a2n+1+……a3n

则,A、B、C形成新的等比数列,公比Q=q^n

2、若A=a1+a4+a7+……+a3n-2

B=a2+a5+a8+……+a3n-1

C=a3+a6+a9+……+a3n

则,A、B、C形成新的等比数列,公比Q=q

等比数列在日常生活中也是经常运用的。例如: 银行有一种付出利息的方法——复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,在核算下一期的利息,也就是人们一般说的利滚利。按照复利核算本利和的公式:本利和=本金*(1+利率)^存期。

依据历史传说记载,国际象棋起源于古印度,见诸于文献最早的记载是在萨珊王朝期间用波斯文写的。听说,有位印度教宰相见国王自负虚浮,决议给他一个教训。他向国王引荐了一种在其时髦无人知晓的游戏。国王当时每天被一群溜须拍马的大臣们包围,百无聊赖,很需要玩游戏方式来排解抑郁的心情。

国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的爱好,惊喜之余,他便问那位宰相,作为对他忠心的奖励,他需要什么恩赐。宰相开口说道:请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子,第二个格子上放2粒,第三个格子上放4粒,第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数,直到最终一个格子第64格放满为止,这么我就非常满意了。“好吧!”国王哈哈大笑,大方地容许了宰相的这个恳求 。

这位聪明的宰相究竟请求的是多少麦粒呢?略微算一下就能够得出:1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1,直接写出数字来即是18,446,744,073,709,551,615粒,这位宰相所请求的,竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和!

假如造一个宽四米,高四米的粮仓来贮存这些粮食,那么这个粮仓就要长三亿千米,能够绕地球赤道7500圈,或在天地之间打个来回。

国王哪有这么多的麦子呢?他的一句大方之言,成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永久也无法还清的债。

正当国王束手无策之际,王太子的数学老师知道了这件事,他笑着对国王说:“陛下,这个疑问很简单啊,就像1+1=2相同简单,您怎么会被它难倒?” 国王大怒:“莫非你要我把全世界两千年产的小麦都给他?” 年轻的老师说:“没有必要啊,陛下。其实,您只要让宰相大人到粮仓去,自个数出那些麦子就能够了。假如宰相大人一秒钟数一粒,数完18,446,744,073,709,551,615粒麦子所需求的时刻,大约是5800亿年(我们能够自个用计算器算一下)。就算宰相大人日夜不停地数,数到他自个魂飞魄散,也仅仅数出了那些麦粒中极小的一部分。这么的话,就不是陛下无法付出恩赐,而是宰相大人自个没有才能取走恩赐。” 国王恍然大悟,当下就召来宰相,将年轻老师的办法告诉了他。西萨·班·达依尔深思顷刻后笑道:“陛下啊,您的智慧超过了我,那些恩赐……我也只好不要了!”当然,最终宰相还是获得了许多的恩赐。

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