正多边形相关计算方法

正多边形的概念

二维平面内各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形(多边形：边数大于或等于3)。正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。中心与正多边形顶点连线的长度叫做半径。中心与边的距离叫做边心距。正多边形的对称轴——奇数边：连接一个顶点和顶点所对的边的中点，即为对称轴；偶数边：连接相对的两个边的中点，或者连接相对称的两个顶点，都是对称轴。正N边形边数为对称轴的条数为N。

正多边形的相关计算

内角

正n边形的内角和度数为：\((n－2) \times 180°\)

正n边形的一个内角是：\((n-2) \times 180°/n\)

外角

正n边形外角和等于：\(n \cdot 180°－(n－2) \times 180°=360°\)

所以正n边形的一个外角为：\( \frac {360}{n} \)

所以正n边形的一个内角也可以用这个公式：\(180°- \frac {360}{n} \)

中心角

任何一个正多边形，都可作一个外接圆，多边形的中心就是所作外接圆的圆心，所以每条边的中心角，实际上就是这条边所对的弧的圆心角，因此这个角就是360度除以边数。

正多边形中心角：\( \frac {360}{n} \)

对角线

在一个正多边形中，所有的顶点可以与除了他相邻的两个顶点的其他顶点连线，就成了顶点数减2（2是那两个相邻的点）个三角形。三角形内角和：180度，所以把边数减2乘上180度，就是这个正多边形的内角和。

对角线数量的计算公式：\(n(n-3)/2\)

面积

设正n边形的半径为R，边长为an，中心角为αn，边心距为r n，

则：

\(αn=360°/n\)，\(an=2Rsin(180°/n)\)，

\(r n=Rcos(180°/n)\)，\(R^2=r n^2+(an÷2)^2\)，

周长\(pn=n \times an\)，面积\(Sn=pn \times rn/2\)

对称轴

正多边形的对称轴

奇数边：连接一个顶点和顶点所对的边的中点，即为对称轴；

偶数边：连接相对的两个边的中点，或者连接相对称的两个顶点，都是对称轴。

正N边形边数为N。

正N边形角数为N。

正N边形对称轴数都为N条（如三角形有奇数条边，N=3，有三条对称轴；正方形有偶数条边，N=4，有四条对称轴）