平面向量的运算性质

平面向量的运算性质


发布日期: 2017-02-13 更新日期: 2017-02-13 编辑:xuzhiping 浏览次数: 8396

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摘要: 向量同数量一样,也可以进行运算。向量可以参与多种运算过程,包括线性运算(加法、减法和数乘)、数量积、向量积与混合积等。 下面介绍运算性质时,将统一作如下规定:任取平面上两点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)。 加法 已知向量AB、BC,再作向...

向量同数量一样,也可以进行运算。向量可以参与多种运算过程,包括线性运算(加法、减法和数乘)、数量积、向量积与混合积等。

下面介绍运算性质时,将统一作如下规定:任取平面上两点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)。

加法

已知向量AB、BC,再作向量AC,则向量AC叫做AB、BC的和,记作AB+BC,即有:AB+BC=AC。

用坐标表示时,显然有:AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x2-x1+x3-x2,y2-y1+y3-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC。这就是说,两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差

三角形法则:AB+BC=AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则,简记为:首尾相连、连接首尾、指向终点。

四边形法则:已知两个从同一点A出发的两个向量AC、AB,以AC、AB为邻边作平行四边形ACDB,则以A为起点的对角线AD就是向量AC、AB的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则,简记为:共起点 对角连。

对于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。

向量的加法满足所有的加法运算定律,如:交换律、结合律。

减法

AB-AC=CB,这种计算法则叫做向量减法的三角形法则,简记为:共起点、连终点、方向指向被减向量。

-(-a)=a;a+(-a)=(-a)+a=0;a-b=a+(-b)。

数乘

实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa。当λ>0时,λa的方向和a的方向相同,当λ<0时,λa的方向和a的方向相反,当λ = 0时,λa=0。

用坐标表示的情况下有:λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)

设λ、μ是实数,那么满足如下运算性质:

(λμ)a= λ(μa)

(λ + μ)a= λa+ μa

λ(a±b) = λa± λb

(-λ)a=-(λa) = λ(-a)

|λa|=|λ||a|[2]

数量积

已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)叫做a与b的数量积或内积,记作a·b。零向量与任意向量的数量积为0。数量积a·b的几何意义是:a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1·x2+y1·y2

数量积具有以下性质:

a·a=|a|2≥0

a·b=b·a

k(a·b)=(ka)b=a(kb)

a·(b+c)=a·b+a·c

a·b=0<=>a⊥b

a=kb<=>a//b

e1·e2=|e1||e2|cosθ[2]

向量积

向量a与向量b的夹角:已知两个非零向量,过O点做向量OA=a,向量OB=b,则∠AOB=θ 叫做向量a与b的夹角,记作。已知两个非零向量a、b,那么a×b叫做a与b的向量积或外积。向量积几何意义是以a和b为边的平行四边形面积,即S=|a×b|。

若a、b不共线,a×b是一个向量,其模是|a×b|=|a||b|sin,a×b的方向为垂直于a和b,且a、b和a×b按次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。

若a=(x1,y1,0),b=(x2,y2,0),则有:

向量积具有如下性质:

a×a=0

a‖b<=>a×b=0

a×b=-b×a

(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)

(a+b)×c=a×c+b×c[3]

混合积

给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积a×b,再和向量c作数量积(a×b)·c,所得的数叫做三向量a、b、c的混合积,记作(a,b,c)或(abc),即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c

混合积具有下列性质:

1.三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V,并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数;当a、b、c构成左手系时,混合积是负数,即(abc)=εV(当a、b、c构成右手系时ε=1;当a、b、c构成左手系时ε=-1)

2.上条性质的推论:三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0

3.(abc) = (bca) = (cab) = - (bac) = - (cba) = - (acb)[3]

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