>>> from env_helper import info; info()
页面更新时间： 2023-06-24 12:30:31
运行环境：
Linux发行版本: Debian GNU/Linux 12 (bookworm)
操作系统内核: Linux-6.1.0-9-amd64-x86_64-with-glibc2.36
Python版本: 3.11.2
3.1. SymPy-符号运算好帮手¶
SymPy是Python的数学符号计算库，用它可以进行数学公式的符号推导。为了调用方便，下面所有的 实例程序都假设事先从sympy库导入了所有内容：
>>> from sympy import *
3.1.1. 欧拉恒等式¶
数学中有一个著名的公式： eiπ + 1 = 0 ，叫做欧拉恒等式。 其中e是自然指数的底，i是虚数单位， π 是圆周率。 此公式被誉为数学最奇妙的公式，它将5个基本数学常数用加法、乘法和幂运算联系起来。 我曾经本以为用编程语言是没法表达这种公式的，现在看来果然是图样图森破。
下面用SymPy验证一下这个公式。 载入的符号中，E 表示自然指数的底，
I 表示虚数单位， pi 表示圆周率，
因此上述的公式可以直接如下计算：
>>> from sympy import *
>>> E**(I*pi)+1
欧拉恒等式可以下面的公式进行计算，
e^ix = cos(x) + i sin (x)
为了用SymPy求证上面的公式，我们需要引入变量 x 。
在SymPy中，数学符号是Symbol类的对象， 因此必须先创建之后才能使用：
>>> x = Symbol('x')
expand 函数可以将公式展开，我们用它来展开 `E**(I*pi)`` 试试看：
>>> expand( E**(I*x) )
没有成功，只是换了一种写法而已。这里的 exp 不是 math.exp 或者
numpy.exp，而是sympy.exp ，
它是一个类，用来表述自然指数函数。 expand 函数有关键字参数
complex ，当它为 True 时，expand
将把公式分为实数和虚数两个部分：
>>> expand(exp(I*x), complex=True)
这次得到的结果相当复杂，其中sin, cos, re,
im都是sympy定义的类，re表示取实数部分， im表示取虚数部分。
显然这里的运算将符号x当作复数了。
为了指定符号x必须是实数，我们需要如下重新定义符号 x ：
>>> x = Symbol("x", real=True)
>>> expand(exp(I*x), complex=True)
终于得到了我们需要的公式。那么如何证明它呢。我们可以用泰勒多项式展开：
>>> tmp = series(exp(I*x), x, 0, 10)
>>> pprint(tmp)
2 3 4 5 6 7 8 9
x ⅈ⋅x x ⅈ⋅x x ⅈ⋅x x ⅈ⋅x ⎛ 10⎞
1 + ⅈ⋅x - ── - ──── + ── + ──── - ─── - ──── + ───── + ────── + O⎝x ⎠
2 6 24 120 720 5040 40320 362880
series是泰勒展开函数，pprint将公式用更好看的格式打印出来。下面分别获得tmp的实部和虚部，分 别和cos(x)和sin(x)的展开公式进行比较：
>>> pprint(re(tmp))
8 6 4 2
x x x x ⎛ ⎛ 10⎞⎞
───── - ─── + ── - ── + re⎝O⎝x ⎠⎠ + 1
40320 720 24 2
>>> pprint(series( cos(x), x, 0, 10) )
2 4 6 8
x x x x ⎛ 10⎞
1 - ── + ── - ─── + ───── + O⎝x ⎠
2 24 720 40320
>>> pprint(im(tmp))
9 7 5 3
x x x x ⎛ ⎛ 10⎞⎞
────── - ──── + ─── - ── + x + im⎝O⎝x ⎠⎠
362880 5040 120 6
>>> pprint(series(sin(x), x, 0, 10))
3 5 7 9
x x x x ⎛ 10⎞
x - ── + ─── - ──── + ────── + O⎝x ⎠
6 120 5040 362880