平面向量的基本定理

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平面向量的基本定理

2016-12-13 作者: xuzhiping 浏览: 2201 次

摘要: 平面向量是在二维平面空间里既有方向也有大小的量,物理学当中也叫它为矢量,与之相对的是仅有大小、没有方向的数量。平面向量用a,b,c上加一个小箭头表示,亦可以用表示向量的有向线段的起点到重点表示。我们先来了解下向量的基本定理都有什么, 1 基本介绍 有向线段的要...

平面向量是在二维平面空间里既有方向也有大小的量,物理学当中也叫它为矢量,与之相对的是仅有大小、没有方向的数量。平面向量用a,b,c上加一个小箭头表示,亦可以用表示向量的有向线段的起点到重点表示。我们先来了解下向量的基本定理都有什么,

1 基本介绍

有向线段的要点:起点,方向,长度。长度为零的向量为零向量,单位向量为一长度单位。方向一样或相反的非零向量为平行向量。

2 基本定理

共面向量基本定理:如果两个向量a、b不在一条线上,那么向量p与向量a、b共面的充要条件是:存在仅有实数对x、y,使 p=xa+by。平面向量基本定理这个定理其实说明了平面向量能够沿随意指定的两方向分解,同时也说明了由任意两向量能够组成指定向量,即向量的合成与分解 。当两个方向彼此垂直时,其实就是把他们在直角坐标系中分解,此时(x,y)就称为此向量的坐标。所以这个定理为向量的坐标表示提供了理论依据。

3 坐标表示

在平面直角坐标系中,各自取与x轴,y轴方向一样的两个单位向量i、j当作基底,a为坐标平面内的任何向量,以坐标原点O为起点作向量OP=a。有平面向量基本定理可知,有且只要一对实数x、y,使得向量OP=xi+yj。

因而,a=xi+yj。

我们把实数(x,y)对叫做向量的坐标,记作:a=(x,y)。

显然,其间(x,y)即是点P的坐标。

向量OP称为点P的方位向量。

4 向量关系

1.若a=0,则对任一向量rb,有ra ·r b=0。

2.若a≠0,则对任一非零向量b,有a · b≠0. 错(当a⊥b时,a · b=0)。

3.若a≠0,a · b =0,则b=0错(当a和b都不为零,且a⊥b时,a · b=0) 。

4.若a · b=0,则a · b中至少有一个为0. 错(能够都不为0,当a⊥b时,a · b=0建立) 。

5.若a≠0,a · b= b · c,则a=c 错(当b=0时)。

6.若a · b= a · c,则b≠c,当且仅当a= 0时建立. 错(a≠0且一起笔直于b,c时也建立) 。

7.对任何向量 a有a乘a=∣a∣成 ∣a∣。

平面向量的线性运算:加法为三角形法则'平行四边形法则'。定理:向量a与b共线,a不等于零,有且仅有唯一一个实数c,使b=ca。

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