拓扑空间分类介绍

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拓扑空间分类介绍

2016-10-31 作者: zhangxiang 浏览: 1788 次

摘要: 拓扑空间基本介绍 在拓扑学及其相关的数学分支中,拓扑空间(topological space)是一个点的集合,其部分子集构成一个族满足一些公理。拓扑空间的定义仅依赖于集合论,是带有连续,连通,收敛等概念的最基本的数学空间。 拓扑空间分类介绍 欧几里得空间的一种...

拓扑空间基本介绍

在拓扑学及其相关的数学分支中,拓扑空间(topological space)是一个点的集合,其部分子集构成一个族满足一些公理。拓扑空间的定义仅依赖于集合论,是带有连续,连通,收敛等概念的最基本的数学空间。

拓扑空间分类介绍

欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集,在它的每一点赋予一种确定的邻近结构便成为一个拓扑空间。构造邻近结构有多种方法,常用的是指定开集的方法。给定集x,它的一个子集族J称为x上的一个拓扑结构, 简称拓扑,是指J满足下列三个条件:

①空集和x本身是J的元;

②J内任意有限多个元的交仍是J的元;

③J内任意多个元的并仍是J的元。

集x连同它上面的一个拓扑J,构成一个拓扑空间,简称空间。J的元叫x的开集,开集的补集叫闭集。任何集x上总可以赋予拓扑。例如,x的一切子集组成的族就是x上的一个拓扑, 叫离散拓扑,对应的空间叫离散空间;另一个拓扑仅由空集与x自己所组成,叫平凡拓扑。如果集x上定义了一个度量或距离函数,那么x内可以用一些开球的并表示的一切子集组成x上的一个拓扑,叫度量拓扑。一切开球组成的集族称为这个拓扑的一个基。一般地,拓扑J的一个子族B称为J的一个基,是指 J的每个元可表为B的一些元的并。这时,也说拓扑J是由B生成的。拓扑J的一个子族φ称为J的一个子基是指φ中元的所有有限交构成的集族是J的一个基。设A是拓扑空间x的任一子集。规定A的开集是x的开集与A的交,于是A自己构成一个拓扑空间,称为x的子空间。

积空间

任意两个集 A1和 A2的笛卡儿积定义为集。两个拓扑空间x1与x2的笛卡儿积x1×x2上可以引入乘积拓扑如下: 其基中的元是形如A1×A2的集, 这里Ai是 xi的任意开集,i=1,2。这样得到的拓扑空间称为空间x1与x2的积空间。x1与x2叫因子空间。积空间可以推广到任意多个因子的情况。任意集族{Aα}α∈I的笛卡儿积可类似地定义为集这里Aα是xα的任意开集,并且这些Aα(α∈I)中除有限多个外都等于xα。这样得到的拓扑空间称为空间族{xα}α∈I的积空间。

商空间

设x 是拓扑空间,将x 划分为两两不相交的子集, 把每个子集看作一个点, 就得到一个新的集H。H的每个点可以看作是由x 的某个相应子集中的点重叠而成。规定H的子集U是开集当且仅当U的一切元的并是x的开集。这样,H便构成一个拓扑空间,叫x的商空间。例如, 让x表平面上的长方形带ABCDEF,并作为数平面R2的子空间。先把带扭转180°,再把FD边与CA边粘合起来,这样得到的图形叫麦比乌斯带。这时点A与D重合,C与F、B与E也重合,等等。如果将x划分为下列两两不相交的子集:{A,D},{C,F},{B,E},…以及所有单点集{p},这里p是x的不在两条竖直边上的点。所得的商空间就是麦比乌斯带

紧空间

拓扑空间x的子集族 U称为x 的覆盖是指x可表为U的一切元的并。由开集组成的覆盖叫开覆盖。如果T2空间x的每个开覆盖有一个有限子族仍是x的覆盖,则x称为紧空间。n维欧几里得空间Rn中的有界闭集,即可以包含于某个球内的闭集,作为Rn的子空间是紧空间。但Rn本身不是紧空间。任意一族紧空间的积空间仍是紧空间。连续映射把紧空间映成紧空间,只要映成的空间是T2的。与一个度量空间同胚的拓扑空间叫可度量空间。1924年,苏联拓扑学家∏.C.乌雷松证明了:紧空间是可度量的当且仅当它是第二可数的。在第二可数或度量空间范围内,一个空间是紧的当且仅当它是列紧的,即是T2空间且它的每个点列有一个收敛子序列。

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