拓扑空间分类介绍

拓扑空间基本介绍

在拓扑学及其相关的数学分支中，拓扑空间（topological space）是一个点的集合，
其部分子集构成一个族满足一些公理。拓扑空间的定义仅依赖于集合论，是带有连续，
连通，收敛等概念的最基本的数学空间。

拓扑空间分类介绍

欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一点赋予一种确定的邻近结构便成为一个拓扑空间。
构造邻近结构有多种方法，常用的是指定开集的方法。给定集x,它的一个子集族J称为x上的一个拓扑结构,
简称拓扑,是指J满足下列三个条件：

①空集和x本身是J的元;

②J内任意有限多个元的交仍是J的元；

③J内任意多个元的并仍是J的元。

集x连同它上面的一个拓扑J,构成一个拓扑空间,简称空间。
J的元叫x的开集,开集的补集叫闭集。任何集x上总可以赋予拓扑。
例如，x的一切子集组成的族就是x上的一个拓扑, 叫离散拓扑，
对应的空间叫离散空间;另一个拓扑仅由空集与x自己所组成,叫平凡拓扑。
如果集x上定义了一个度量或距离函数，
那么x内可以用一些开球的并表示的一切子集组成x上的一个拓扑，
叫度量拓扑。一切开球组成的集族称为这个拓扑的一个基。一般地，
拓扑J的一个子族B称为J的一个基，是指 J的每个元可表为B的一些元的并。
这时,也说拓扑J是由B生成的。
拓扑J的一个子族φ称为J的一个子基是指φ中元的所有有限交构成的集族是J的一个基。
设A是拓扑空间x的任一子集。规定A的开集是x的开集与A的交，
于是A自己构成一个拓扑空间,称为x的子空间。

积空间

任意两个集 A1和 A2的笛卡儿积定义为集。
两个拓扑空间x1与x2的笛卡儿积x1×x2上可以引入乘积拓扑如下:
其基中的元是形如A1×A2的集, 这里Ai是 xi的任意开集,i=1,2。
这样得到的拓扑空间称为空间x1与x2的积空间。x1与x2叫因子空间。
积空间可以推广到任意多个因子的情况。
任意集族{Aα}α∈I的笛卡儿积可类似地定义为集这里Aα是xα的任意开集，
并且这些Aα(α∈I)中除有限多个外都等于xα。
这样得到的拓扑空间称为空间族{xα}α∈I的积空间。

商空间

设x 是拓扑空间，将x 划分为两两不相交的子集,
把每个子集看作一个点, 就得到一个新的集H。
H的每个点可以看作是由x 的某个相应子集中的点重叠而成。
规定H的子集U是开集当且仅当U的一切元的并是x的开集。
这样，H便构成一个拓扑空间，叫x的商空间。例如,
让x表平面上的长方形带ABCDEF,并作为数平面R2的子空间。
先把带扭转180°,再把FD边与CA边粘合起来，这样得到的图形叫麦比乌斯带。
这时点A与D重合，C与F、B与E也重合,等等。
如果将x划分为下列两两不相交的子集：{A,D},{C,F},{B,E},…以及所有单点集{p}，
这里p是x的不在两条竖直边上的点。所得的商空间就是麦比乌斯带。

紧空间

拓扑空间x的子集族 U称为x 的覆盖是指x可表为U的一切元的并。
由开集组成的覆盖叫开覆盖。如果T2空间x的每个开覆盖有一个有限子族仍是x的覆盖，
则x称为紧空间。n维欧几里得空间Rn中的有界闭集，即可以包含于某个球内的闭集，
作为Rn的子空间是紧空间。但Rn本身不是紧空间。
任意一族紧空间的积空间仍是紧空间。连续映射把紧空间映成紧空间，
只要映成的空间是T2的。与一个度量空间同胚的拓扑空间叫可度量空间。
1924年，苏联拓扑学家∏.C.乌雷松证明了：紧空间是可度量的当且仅当它是第二可数的。
在第二可数或度量空间范围内，一个空间是紧的当且仅当它是列紧的，
即是T2空间且它的每个点列有一个收敛子序列。