球体数学

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球体数学

2017-01-03 作者: xuzhiping 浏览: 1274 次

摘要: 数学中的球体 球体基本概念 半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面叫做球面。 球面所围成的几何体叫做球体,简称球。 半圆的圆心叫做球心。 衔接球心和球面上恣意一点的线段叫做球的半径。 衔接球面上两点而且通过球心的线段叫做球的直径。 球体性质 用一个平面去截一个...

数学中的球体

球体基本概念

半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面叫做球面。

球面所围成的几何体叫做球体,简称球。

半圆的圆心叫做球心。

衔接球心和球面上恣意一点的线段叫做球的半径。

衔接球面上两点而且通过球心的线段叫做球的直径。

球体性质

用一个平面去截一个球,截面是圆面。球的截面有以下性质:

1 球心和截面圆心的连线垂直于截面。

2 球心到截面的间隔d与球的半径R及截面的半径r有下面的联系:\(r^2=R^2-d^2\)

球面被通过球心的平面截得的圆叫做大圆,被不通过球心的截面截得的圆叫做小圆。

在球面上,两点之间的最短连线的长度,即是通过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,我们把这个弧长叫做两点的球面间隔。

球体函数

半径为r的球的方程为:

球体的计算公式

半径是R的球的体积计算公式是:\(V= \frac {4}{3}πr^3\)

半径是R的球的表面积计算公式是:\(S=4πr^2\)

证实

证:\(V= \frac {4}{3}πr^3\)

欲证\(V= \frac {4}{3}πr^3\),可证\( \frac {1}{2} V= \frac {1}{2} πr^3\)

做一个半球h=r, 做一个圆柱h=r

∵V柱-V锥

= π×r^3- π×r^3/3

=2/3π×r^3

∴若猜测建立,则V柱-V锥=V半球

依据祖暅原理:夹在两个平行平面之间的两个立体图形,被平行于这两个平面的恣意平面所截,假如所得的两个截面面积持平,那么,这两个立体图形的体积持平。

∴若猜测建立,两个平面:S1(圆)=S2(环)

1.从半球高h点截一个平面 依据公式可知此面积为π×(r^2-h^2)^0.5^2=π×(r^2-h^2)

2.从圆柱做一个与其等底等高的圆锥:V锥 依据公式可知其右侧环形的面积为π×r^2-π×r×h/r=π×(r^2-h^2)

∵π×(r^2-h^2)=π×(r^2-h^2)

∴V柱-V锥=V半球

∵V柱-V锥=π×r^3-π×r^3/3=2/3π×r^3

∴V半球=2/3π×r^3

由V半球可推出V球=2×V半球=4/3×πr^3

证毕

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