Weyl群、Coxeter群与Bruhat序¶

经典Weyl群和仿射Weyl群¶

您可以为任何根系创建Weyl群和仿射Weyl群。对于这些，有多种方法可用。其中一些方法适用于普通Coxeter组。

默认情况下，Weyl群的元素表示为矩阵：：

sage: WeylGroup("A3").simple_reflection(1)
[0 1 0 0]
[1 0 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]

你可能更喜欢一种符号，其中的元素被写成简单反射的产物。为了实现这一点，您需要指定一个前缀，通常 "s" **

sage: W = WeylGroup("A3",prefix="s")
sage: [s1,s2,s3] = W.simple_reflections()
sage: (s1*s2*s1).length()
3
sage: W.long_element()
s1*s2*s3*s1*s2*s1
sage: s1*s2*s3*s1*s2*s1 == s3*s2*s1*s3*s2*s3
True

Weyl基团作用于根晶格的环境空间，该空间由该方法访问 domain 。为了说明这一点，请回忆一下，如果 w_0 那就是长元素了 alpha mapsto -w_0(alpha) 是简单根的排列。我们可以这样计算：

sage: W = WeylGroup("E6",prefix="s")
sage: w0 = W.long_element(); w0
s1*s3*s4*s5*s6*s2*s4*s5*s3*s4*s1*s3*s2*s4*s5*s6*s2*s4*s5*s3*s4*s1*s3*s2*s4*s5*s3*s4*s1*s3*s2*s4*s1*s3*s2*s1
sage: sr = W.domain().simple_roots().list(); sr
[(1/2, -1/2, -1/2, -1/2, -1/2, -1/2, -1/2, 1/2), (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0),
(-1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0), (0, -1, 1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, 0, -1, 1, 0, 0, 0, 0),
(0, 0, 0, -1, 1, 0, 0, 0)]
sage: [-w0.action(a) for a in sr]
[(0, 0, 0, -1, 1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0), (0, 0, -1, 1, 0, 0, 0, 0),
(0, -1, 1, 0, 0, 0, 0, 0), (-1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0),
(1/2, -1/2, -1/2, -1/2, -1/2, -1/2, -1/2, 1/2)]

我们可能会问，这种排列什么时候是微不足道的。如果它是非平凡的，则它诱导出动态图的一个自同构，所以当动态图没有自同构时，它一定是非平凡的。但如果存在非平凡的自同构，则排列可能是也可能不是平凡的：：

sage: def roots_not_permuted(ct):
....:     W = WeylGroup(ct)
....:     w0 = W.long_element()
....:     sr = W.domain().simple_roots()
....:     return all(a == -w0.action(a) for a in sr)
sage: for ct in [CartanType(['D', r]) for r in [2..8]]:
....:     print("{} {}".format(ct, roots_not_permuted(ct)))
['D', 2] True
['D', 3] False
['D', 4] True
['D', 5] False
['D', 6] True
['D', 7] False
['D', 8] True

If alpha is a root let r_alpha denote the reflection in the hyperplane that is orthogonal to alpha. We reserve the notation s_alpha for the simple reflections, that is, the case where alpha is a simple root. The reflections are just the conjugates of the simple reflections.

反射是有限族中的值，有限族是 Python 词典的包装器。关键字是正根，因此给定一个正根，您可以查找相应的反射。如果您想要所有反射的列表，您可以使用常用方法来构造列表(例如，使用 list 函数)或使用该方法 values 对于反射族：

sage: W = WeylGroup("B3",prefix="s")
sage: ref = W.reflections(); ref
Finite family {(1, -1, 0): s1, (0, 1, -1): s2, ...}
sage: [a1,a2,a3] = W.domain().simple_roots()
sage: a1+a2+a3
(1, 0, 0)
sage: ref[a1+a2+a3]
s1*s2*s3*s2*s1
sage: sorted(ref)
[s1*s2*s3*s2*s1,
 s2*s3*s1*s2*s3*s1*s2,
 s3*s1*s2*s3*s1,
 s1*s2*s1,
 s1,
 s2*s3*s2,
 s3*s2*s3,
 s2,
 s3]

如果您想要一个以反射为关键字、以根为值的族，则可以使用反向族：：

sage: from pprint import pprint
sage: W = WeylGroup("B3",prefix="s")
sage: [s1,s2,s3] = W.simple_reflections()
sage: altref = W.reflections().inverse_family()
sage: altref
Finite family {s1*s2*s3*s2*s1: (1, 0, 0),
 s2*s3*s1*s2*s3*s1*s2: (1, 1, 0),
 s3*s1*s2*s3*s1: (1, 0, 1),
 s1*s2*s1: (1, 0, -1),
 s1: (1, -1, 0),
 s2*s3*s2: (0, 1, 0),
 s3*s2*s3: (0, 1, 1),
 s2: (0, 1, -1),
 s3: (0, 0, 1)}
sage: altref[s3*s2*s3]
(0, 1, 1)

备注

此函数的行为在 :issue:`20027` 。

Weyl群被实现为间隙矩阵群。因此，您可以按如下方式显示其字符表：

sage: WeylGroup("D4").character_table()
CT1
<BLANKLINE>
      2  6  4  5  1  3  5  5  4  3  3  1  4  6
      3  1  .  .  1  .  .  .  .  .  .  1  .  1
<BLANKLINE>
        1a 2a 2b 6a 4a 2c 2d 2e 4b 4c 3a 4d 2f
<BLANKLINE>
X.1      1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1
X.2      1 -1  1  1 -1  1  1 -1 -1 -1  1  1  1
X.3      2  .  2 -1  .  2  2  .  .  . -1  2  2
X.4      3 -1 -1  .  1  3 -1 -1 -1  1  . -1  3
X.5      3  1 -1  . -1  3 -1  1  1 -1  . -1  3
X.6      3 -1  3  . -1 -1 -1 -1  1  1  . -1  3
X.7      3 -1 -1  .  1 -1  3 -1  1 -1  . -1  3
X.8      3  1  3  .  1 -1 -1  1 -1 -1  . -1  3
X.9      3  1 -1  . -1 -1  3  1 -1  1  . -1  3
X.10     4 -2  . -1  .  .  .  2  .  .  1  . -4
X.11     4  2  . -1  .  .  . -2  .  .  1  . -4
X.12     6  . -2  .  . -2 -2  .  .  .  .  2  6
X.13     8  .  .  1  .  .  .  .  .  . -1  . -8

仿射Weyl群¶

仿射Weyl群可以用同样的方法创建。您只需从仿射Cartan类型开始：：

sage: W = WeylGroup(['A',2,1],prefix="s")
sage: W.cardinality()
+Infinity
sage: [s0,s1,s2] = W.simple_reflections()
sage: s0*s1*s2*s1*s0
s0*s1*s2*s1*s0

仿射Weyl群不同于经典Weyl群，因为它是无限的。关联的经典Weyl群是可以如下提取的子群：

sage: W = WeylGroup(['A',2,1],prefix="s")
sage: W1 = W.classical(); W1
Parabolic Subgroup of the Weyl Group of type ['A', 2, 1] (as a matrix group
acting on the root space)
sage: W1.simple_reflections()
Finite family {1: s1, 2: s2}

虽然 W1 在本例中同构于 WeylGroup("A2") 它具有不同的矩阵实现：

sage: for s in WeylGroup(['A',2,1]).classical().simple_reflections():
....:     print(s)
....:     print("")
[ 1  0  0]
[ 1 -1  1]
[ 0  0  1]
<BLANKLINE>
[ 1  0  0]
[ 0  1  0]
[ 1  1 -1]

sage: for s in WeylGroup(['A',2]).simple_reflections():
....:     print(s)
....:     print("")
[0 1 0]
[1 0 0]
[0 0 1]
<BLANKLINE>
[1 0 0]
[0 0 1]
[0 1 0]

布鲁哈特教派¶

Weyl群上的Bruhat偏序可以定义如下。

如果 u,v in W ，找到一种简化的表达 v 变成简单反射的产物： v = s_1 cdots s_n 。(并不假设 s_i 是截然不同的。)如果省略了一些 s_i 给出一个产品，它表示 u ，那么 u le v 。

在Sage中，Bruhat序被实现为Coxeter群的一种方法，因此它适用于Weyl群，无论是经典的还是仿射的。

如果 u ， v in W 然后 u.bruhat_le(v) 退货 True 如果 u le v 在布鲁哈特修道会。

如果 u le v 然后是 Bruhat interval [u,v] 被定义为所有 t 以至于 u le t le v 。您可以尝试按如下方式实施：

sage: W = WeylGroup("A2",prefix="s")
sage: [s1,s2] = W.simple_reflections()
sage: def bi(u,v) : return [t for t in W if u.bruhat_le(t) and t.bruhat_le(v)]
...
sage: bi(s1,s1*s2*s1)
[s1*s2, s2*s1, s1, s1*s2*s1]

这不是一个好的定义，因为它将在以下情况下失败 W 是仿射的，是低效的 W 都很大。Sage有一种Bruhat间隔方法：：

sage: W = WeylGroup("A2",prefix="s")
sage: [s1,s2] = W.simple_reflections()
sage: W.bruhat_interval(s1,s1*s2*s1)
[s1*s2*s1, s2*s1, s1*s2, s1]

这甚至适用于仿射Weyl群。

布鲁哈特图¶

参考资料：

The Bruhat graph is a structure on the Bruhat interval. Suppose that u le v. The vertices of the graph are x with u le x le v. There is a vertex connecting x,y in [x,y] if x = y cdot r where r is a reflection. If this is true then either x < y or y < x.

如果 W 是一个经典的Weyl群，Bruhat图在Sage：：中实现

sage: W = WeylGroup("A3",prefix="s")
sage: [s1,s2,s3] = W.simple_reflections()
sage: bg = W.bruhat_graph(s2,s2*s1*s3*s2); bg
Digraph on 10 vertices
sage: bg.show3d()

Bruhat图具有Carrell和Peterson研究过的有趣的正则性。如果两个Kazhdan Lusztig多项式都是正则图 P_{u,v} 和 P_{w_0v,w_0u} 为1，其中 w_0 是Long Weyl群元素。它与 Deodhar conjecture Deodhar，Carrell和Peterson，Dyer和Polo证明了这一点。

Deodhar证明了如果 u < v 然后是布鲁哈特间隔 [u,v] 包含的奇数长度的元素与包含偶数长度的元素一样多。我们观察到，这一点通常可以得到加强：如果存在反射 r 使得左(或右)乘以 r 用布鲁哈特间隔 [u,v] 中长度为奇数和偶数的元素之间的显式双射 [u,v] 。

让我们寻找这样的反思。将以下命令放入一个文件并加载该文件：

W = WeylGroup("A3",prefix="s")
[s1,s2,s3] = W.simple_reflections()
ref = W.reflections().keys()

def find_reflection(u,v):
    bi = W.bruhat_interval(u,v)
    ret = []
    for r in ref:
        if all( r*x in bi for x in bi):
            ret.append(r)
    return ret

for v in W:
    for u in W.bruhat_interval(1,v):
        if u != v:
            print((u,v,find_reflection(u,v)))

这表明布鲁哈特间隔由所有对的反射来稳定 (u,v) 使用 u < v 以下两项除外： s_3s_1,s_1s_2s_3s_2s_1 和 s_2,s_2s_3s_1s_2 。现在，正是这些配对使得 uprec v 在Kazhdan和Lusztig的符号中，以及 l(v)-l(u) > 1 。人们不应该轻率地认为这是对配对的一般描述 (u,v) 使得没有反射来稳定Bruhat间隔，因为这不是真的。然而，它确实表明，这个问题值得进一步调查。

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