Iwahori Hecke代数

这个 Iwahori Hecke algebra 中定义的 [Iwahori1964]. 在原始论文中，代数出现在一个函数卷积环上 p -由Iwahori子群紧支撑且左、右不变的进群。然而，Iwahori根据生成元和关系确定了它的结构，并证明它是仿射Weyl群的群代数的变形。

一旦找到了表示，就可以为任何Coxeter群定义Iwahori Hecke代数。它取决于一个参数 q 在Iwahori的论文中，它是剩余域的基数。但这也可能是一个不确定的问题。

那么Iwahori Hecke代数有如下描述。让我们 W 成为Coxeter组，带有生成器(简单的反射) s_1,dots,s_n 。他们满足了关系 s_i^2 = 1 和辫子关系

\[S_i S_j S_i S_j=S_j S_i S_j S_i\]

其中，每一侧的术语数是 s_i s_j 。

Iwahori-Hecke代数有一个基 T_1,dots,T_n 受制于与 s_i 。它们满足辫子关系和二次关系

\[(T_i-Q)(T_i+1)=0。\]

这可以通过让 q_1 和 q_2 是两个不确定的和让

\[(T_i-Q_1)(T_i-Q_2)=0。\]

在这种一般意义下，Iwahori Hecke代数的意义远远超出了它们在 p --亚丁群体。例如，它们出现在Schubert簇的几何中，在Kazhdan-Lusztig多项式的定义中使用它们。它们与量子群有关，并出现在琼斯关于琼斯多项式的原始论文中。

下面是如何创建Iwahori Hecke代数(在 T 基础)：

sage: R.<q> = PolynomialRing(ZZ)
sage: H = IwahoriHeckeAlgebra("B3",q)
sage: T = H.T(); T
Iwahori-Hecke algebra of type B3 in q,-1 over Univariate Polynomial Ring
 in q over Integer Ring in the T-basis
sage: T1,T2,T3 = T.algebra_generators()
sage: T1*T1
(q-1)*T[1] + q

如果Cartan类型是仿射的，则生成器将从开始编号 T0 而不是 T1 。

您可以将Weyl群元素转换为Iwahori Hecke代数：：

sage: W = WeylGroup("G2",prefix="s")
sage: [s1,s2] = W.simple_reflections()
sage: P.<q> = LaurentPolynomialRing(QQ)
sage: H = IwahoriHeckeAlgebra("G2",q)
sage: T = H.T()
sage: T(s1*s2)
T[1,2]