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李群与代数

SAGE可用于李群和李代数的标准计算。以下类别的表示法是等效的：

  • 紧、半单单连通李群的复表示 G 。

  • 它的李代数的复数表示 mathfrak{g} 。这是一个实李代数，因此表示不需要是复线性映射。

  • Complex representations of its complexified Lie algebra mathfrak{g}_{mathbf{C}} = mathbf{C} otimes mathfrak{g}. This is a complex Lie algebra and representations are required to be complex linear transformations.

  • 半单单连通复解析群的复解析表示 G_{mathbf{C}} 拥有 mathfrak{g}_{mathbf{C}} 作为它的李代数。

  • 泛包络代数的模 U(mathfrak{g}_{mathbf{C}}) 。

  • 量子化包络代数的模 U_q(mathfrak{g}_{mathbf{C}}) 。

For example, we could take G = SU(n), mathfrak{g} = mathfrak{sl}(n, mathbf{R}), mathfrak{g}_{mathbf{C}} = mathfrak{sl}(n, mathbf{C}) and G_{mathbf{C}} = SL(n, mathbf{C}). Because these categories are the same, their representations may be studied simultaneously. The above equivalences may be expanded to include reductive groups like U(n) and GL(n) with a bit of care.

以下是使用Sage可以解决的一些典型问题：

  • 将这些范畴中任何一个范畴的模分解成不可约的。

  • 计算不可约模的Frobenius-Schur指标。

  • 计算两个模的张量积。

  • 如果 H 是的一个子群 G ，研究了模的限制 G 至 H 。此问题的解决方案称为 branching rule 。

  • 求出表示的权重的重数。

除了它的表示，我们可以如上所述地研究，李群还有各种相关的结构。这些措施包括：

  • 韦尔集团 W 。

  • 权重晶格。

  • 《根系》

  • 卡坦型。

  • 戴金图。

  • 扩展的动态金图。

SAGE包含使用这些结构的方法。

如果有您需要的东西没有实现，将其添加到Sage中很可能是可能的。您可以为未实现的任务编写自己的算法，如果其他人会对此感兴趣，则可能会将其添加到Sage中。

组合学

SAGE支持大量相关的数学对象。其中一些恰当地属于组合学。这些注解涵盖了Sage中的所有组合学，这超出了我们的范围，但我们将尝试触及那些与李群和表示论有一定联系的组合方法。这些措施包括：

  • 仿射Weyl群，包含 W 。

  • Kashiwara晶体，它是上述类别中的模块的组合类似物。

  • Coxeter群方法适用于Weyl群和仿射Weyl群，如Bruhat阶。

  • Iwahori-Hecke代数，它是 W 和仿射Weyl群。

  • Kazhdan-Lusztig多项式。