模块化形式

它的计算专长之一是(非常技术领域的)模块形式,它可以做的比这篇非常简短的介绍中所建议的要多得多。

尖点形状

如何使用Sage计算尖点形状空间的维数?

要计算Gamma的尖点形状空间的维数,请使用命令 dimension_cusp_forms . 以下是教程中“模块化表单”部分的示例:

sage: dimension_cusp_forms(Gamma0(11),2)
1
sage: dimension_cusp_forms(Gamma0(1),12)
1
sage: dimension_cusp_forms(Gamma1(389),2)
6112

相关命令: dimension_new__cusp_forms_gamma0 (对于新形式的尺寸), dimension_modular_forms (对于模块形式),以及 dimension_eis (艾森斯坦系列)。语法类似-请参阅参考手册中的示例。

在Sage的未来版本中,将添加更多相关的命令。

陪侍代表

算术商基本域的显式表示 \(H/\Gamma\) 可以从 \(\Gamma\) 在里面 \(SL_2(\ZZ)\) . 在Sage中这些陪集是如何计算的?

下面是一个计算陪集代表的例子 \(SL_2(\ZZ)/\Gamma_0(11)\)

sage: G = Gamma0(11); G
Congruence Subgroup Gamma0(11)
sage: list(G.coset_reps())
[
[1 0]  [ 0 -1]  [1 0]  [ 0 -1]  [ 0 -1]  [ 0 -1]  [ 0 -1]  [ 0 -1]
[0 1], [ 1  0], [1 1], [ 1  2], [ 1  3], [ 1  4], [ 1  5], [ 1  6],
<BLANKLINE>
[ 0 -1]  [ 0 -1]  [ 0 -1]  [ 0 -1]
[ 1  7], [ 1  8], [ 1  9], [ 1 10]
]

模符号与Hecke算子

接下来我们将说明Hecke算子在1级和12级模符号空间上的计算。

sage: M = ModularSymbols(1,12)
sage: M.basis()
([X^8*Y^2,(0,0)], [X^9*Y,(0,0)], [X^10,(0,0)])
sage: t2 = M.T(2)
sage: f = t2.charpoly('x'); f
x^3 - 2001*x^2 - 97776*x - 1180224
sage: factor(f)
(x - 2049) * (x + 24)^2
sage: M.T(11).charpoly('x').factor()
(x - 285311670612) * (x - 534612)^2

在这里 t2 表示Hecke运算符 \(T_2\) 关于全模符号空间 \(\Gamma_0(1)\) 重量的 \(12\) 带符号 \(0\) 尺寸和尺寸 \(3\) 结束 \(\QQ\) .

sage: M = ModularSymbols(Gamma1(6),3,sign=0)
sage: M
Modular Symbols space of dimension 4 for Gamma_1(6) of weight 3 with sign 0
and over Rational Field
sage: M.basis()
([X,(0,5)], [X,(3,5)], [X,(4,5)], [X,(5,5)])
sage: M._compute_hecke_matrix_prime(2).charpoly()
x^4 - 17*x^2 + 16
sage: M.integral_structure()
Free module of degree 4 and rank 4 over Integer Ring
Echelon basis matrix:
[1 0 0 0]
[0 1 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]

有关更多示例,请参阅教程或参考手册中有关模块化窗体的部分。

亏格公式

Sage能计算出 \(X_0(N)\)\(X_1(N)\) ,以及相关曲线。以下是一些语法示例:

sage: dimension_cusp_forms(Gamma0(22))
2
sage: dimension_cusp_forms(Gamma0(30))
3
sage: dimension_cusp_forms(Gamma1(30))
9

See the code for computing dimensions of spaces of modular forms (in sage/modular/dims.py) or the paper by Oesterlé and Cohen {CO} for some details.